Γ函数及Γ分布,t分布,ϰ分布和费舍尔分布

摘要

在概率统计中,有这样一类连续型分布,可以用他们来通过一组相互独立且期望,方差相同的事件来确定他们的发生的概率和数学期望。在这里我们主要介绍Γ分布以及被他们引出的χ分布,t分布和fisher分布.

说到Γ分布,就不得不说他的一个重要的组成部分,Γ函数。大约在1728年,著名的数学家哥德巴赫在研究数列插值的问题的时候引入了这样一个重要的函数,自此,这个函数在数学分析和概率论等方面占有了重要的地位,它也可以使用欧拉第二类积分定义,它的一般通式如下所示:Γ(z)=∫∞0e−ttz−1dx\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}dx

1.Γ函数及其相关性质

想要知道Γ分布的相关知识,我们先要来看一看Γ函数的有关性质.首先,我们对这样一个函数使用分布积分法,可以得到Γ(n)=(n−1)∗Γ(n−1)\Gamma(n)=(n-1)*\Gamma(n-1),这是一个相当重要的性质,因为由此我们可以写出Γ函数在整数域内的公式 Γ(n)=(n−1)!∀n∈ℕ\Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N ,而由著名的欧拉反射公式,我们可以求出Γ(0.5)=π‾‾√\Gamma(0.5)=\sqrt{\pi}(欧拉反射公式在此不再说明)

2.Γ分布函数及其相关性质

知道了Γ函数的一点小性质,接下来我们开始定义Γ分布,我们在左右两侧同时除以Γ(a),再将Γ函数的主元a=bx,则可以得到Γ分布的概率分布函数F(a,b)=∫∞0baxa−1e−bxΓ(a)dxF(a,b)=\int_0^\infty \frac{b^ax^{a-1}e^{-bx}}{\Gamma(a)}dx ,由我们得到的方式可以知道其是一种概率模型。

一般地,我们称a为Γ分布的形状参数,b为Γ分布的尺度参数。

下面我们来求一些Γ分布有关的一些有意思的性质:

数学期望:更一般的,我们来求函数的k阶矩的一般公式:

E(xk)=∫∞0xkbaxa−1e−bxΓ(a)dx

E(x^k)=\int_0^\infty x^k\frac{b^ax^{a-1}e^{-bx}}{\Gamma(a)}dx

提取出常数项在将其使用数学归纳法查找规律之后,我们可以得到下面的公式：

E(xk)=Γ(a+k)Γ(a)bk

E(x^k)=\frac{\Gamma(a+k)}{\Gamma(a)b^k}

这样我们可以很快得到Γ分布的数学期望和方差:

E(x)=ab,D(x)=ab2

E(x)=\frac{a}{b},D(x)=\frac{a}{b^2}
多个Γ分布的和分布:

若有一个序列的随机分布量x1 Γ(a1,b),...xn Γ(an,b)x_1~\Gamma(a_1,b),...x_n~\Gamma(a_n,b) 则他们的和分布满足下面的公式:

x1+x2+...xn Γ(a1+..an,b)

x_1+x_2+...x_n~\Gamma(a_1+..a_n,b)

对于这样一个性质,我们想要证明的话,n个随机变量的和显然是很难处理的,我们可以采用概率母函数的方法化和为积,从而证明这一性质。这里就不再叙述。

3.由Γ分布引出的其他分布

知道了Γ分布,我们再来看看 ϰ2\varkappa^2分布的一点性质,我们知道,这个分布是由标准正态分布引入的,这个时候,我们再看看标准正态分布的概率密度函数f(x)=e−x222π√f(x)=\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}},我们会发现,其实这个分布就是Γ分布的一种, 即实际上ϰ2(1)\varkappa^2(1)分布满足Γ(0.5,0.5)\Gamma(0.5,0.5)

很显然, 分布满足Γ分布所具有的一切性质,我们也可以由此求出他的概率密度函数,数学期望和方差。在此也不再叙述。

F分布:F分布于1924年由英国的统计学家Fisher先生发现,这个分布关联两种具有不同自由度的ϰ2\varkappa^2分布,其概率密度函数为f(m,n)=x/my/nf(m,n)=\frac{x/m}{y/n} ,其中x,y的自由度分别为m,n我们也可以使用Γ函数的相关性质来求出这一分布的相关性质。
T分布: 这一分布由英国人威廉葛塞先生于1908年发现,但是,当时他所工作的酒厂不愿意其将他研究的数据发表,但允许其使用匿名发表他的理论成果,于是,威廉先生在他的论文中使用了笔名student,为了纪念这一创举,这则分布又被称为学生氏分布。

学生氏分布的概率密度函数如下所示:

T=X1n(x1+x2+...+xn)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

T=\frac{X}{\sqrt{\frac{1}{n}(x_1+x_2+...+x_n)}}

我们同样使用Γ函数的相关性质来得到T分布的相关性质。

结语

对于这三种分布,其根源均来自于Γ函数,这一在微积分和概率统计领域具有重要地位的函数,研究这些函数的性质已经成为了现代统计学的重要课题之一,吸引着越来越多的研究者的关注。

参考文献

[1] Dunham, William. Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. 1999: pp. 17.
[2] 维基百科: 伽马函数. 2015
[3] DeGroot, Morris H., and Mark J. Schervish(2003). Probability and Statistics. 3rd ed. Pearson Addison Wesley pp.30.