catlan数和超级catlan数(施罗德数)

2024-05-18 02:10:22

catlan数

前言

卡特兰数在组合数里很难告诉它是什么？更多的情况是通过大量的例子来告诉你它怎么用。
从0开始catlan数的前几项为：
1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790…

定义

1. 递归定义

fn=f0∗fn−1+f1∗fn−2+f2∗fn−3+.....+fn−2∗f1+fn−1∗f0{f_n=f_0*f_{n-1}+f_1*f_{n-2}+f_2*f_{n-3}+.....+f{n-2}*f_1+f_{n-1}*f_0}fn=f0∗fn−1+f1∗fn−2+f2∗fn−3+.....+fn−2∗f1+fn−1∗f0

2.递推关系

fn=4n−2n+1fn−1{f_n=\frac{4n-2}{n+1}f_{n-1}}fn=n+14n−2fn−1

3.通项公式

fn=1n+1C2nn{f_n=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}}fn=n+11C2nn

⇒ fn=C2nn−C2nn−1{f_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}}fn=C2nn−C2nn−1

但是对于catlan数列怎么用比它是什么更重要。

实例

例1

在一个

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