正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P1852

题目大意

一个数轴上有333个跳棋，你每次可以将一个跳棋跳到另一个跳棋对称的位置，但是不能一次跨过两个棋子。给出初始状态，和目标状态，求最小步数。

坐标的绝对值不超过10910^9109

解题思路

首先排序+差分一下记为a,b,ca,b,ca,b,c，然后四种跳法操作模拟一下发现是

(a,b,c)→(a,b+c,c)(a,b,c)\rightarrow (a,b+c,c)(a,b,c)→(a,b+c,c)
(a,b,c)→(a,b−c,c)(a,b,c)\rightarrow (a,b-c,c)(a,b,c)→(a,b−c,c)
(a,b,c)→(a+b,b,c−b)(a,b,c)\rightarrow (a+b,b,c-b)(a,b,c)→(a+b,b,c−b)
(a,b,c)→(a−b,b,c+b)(a,b,c)\rightarrow (a-b,b,c+b)(a,b,c)→(a−b,b,c+b)

然后下一步就不会了

反着考虑，能发现这些操作都是可逆的，也就是说我们可以从终点开始倒着推，或者我们可以正反着一起推，并且只保留两个操作

(a,b,c)→(a,b−c,c)(a,b,c)\rightarrow (a,b-c,c)(a,b,c)→(a,b−c,c)
(a,b,c)→(a+b,b,c−b)(a,b,c)\rightarrow (a+b,b,c-b)(a,b,c)→(a+b,b,c−b)

然后此时不难发现对于一个a,b,ca,b,ca,b,c最多只能执行以上的一个操作。

这个可以视为一个往根跳的过程，然后求两个点的路径长度，而跳的过程可以类似于gcdgcdgcd的复杂度做，因为b+cb+cb+c是一直减少的，以b+cb+cb+c代深度然后二分LCALCALCA的深度即可。

时间复杂度：O(log⁡2D)O(\log^2 D)O(log2D)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,c,A,B,C;
ll jump(ll &a,ll &b,ll &c,ll x){ll ans=0;while(b+c>x){if(b==c)return ans;if(b>c){ll k=min((b-1)/c,(b+c-x+c-1)/c);ans+=k,b-=k*c;}else{ll k=min((c-1)/b,(b+c-x+b-1)/b);ans+=k,a+=k*b,c-=k*b;}}return ans;
}
bool check(ll w){ll x=a,y=b,z=c,X=A,Y=B,Z=C;jump(x,y,z,w);jump(X,Y,Z,w);return (X==x)&&(Y==y)&&(Z==z);
}
void cp(ll &x,ll &y)
{if(x>y)swap(x,y);return;}
signed main()
{scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);cp(b,c);cp(a,b);cp(b,c);c=c-b;b=b-a;scanf("%lld%lld%lld",&A,&B,&C);cp(B,C);cp(A,B);cp(B,C);C=C-B;B=B-A;ll x=a,y=b,z=c,X=A,Y=B,Z=C;jump(x,y,z,0);jump(X,Y,Z,0);if(x!=X||y!=Y||z!=Z)return puts("NO")&0;ll l=0,r=min(b+c,B+C);while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;if(check(mid))l=mid+1;else r=mid-1;}x=a,y=b,z=c,X=A,Y=B,Z=C;printf("YES\n%lld\n",jump(x,y,z,r)+jump(X,Y,Z,r));return 0;
}

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