跳跳棋（国家集训队，LCA，洛谷P1852，BZOJ[2144]）

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描述
跳跳棋是在一条数轴上进行的。棋子只能摆在整点上。每个点不能摆超过一个棋子。我们用跳跳棋来做一个简单的游戏：棋盘上有333颗棋子，分别在a，b，ca，b，ca，b，c这三个位置。我们要通过最少的跳动把他们的位置移动成x，y，zx，y，zx，y，z。（棋子是没有区别的）跳动的规则很简单，任意选一颗棋子，对一颗中轴棋子跳动。跳动两颗棋子距离不变。一次只允许跳过111颗棋子。

写一个程序，首先判断是否可以完成任务。如果可以，输出最少需要的跳动次数。
输入
第一行包含三个整数，表示当前棋子的位置abca b cabc。（互不相同）
第二行包含三个整数，表示目标位置xyzx y zxyz。（互不相同）
输出
如果无解，输出一行NO。如果可以到达，第一行输出YES，第二行输出最少步数。
样例输入
1 2 3
0 3 5
样例输出
YES
2
范围
100%100\%100% 绝对值不超过10910^9109

思路

设有a，b，c三点，且a≤b≤ca\leq b \leq ca≤b≤c
则有两种方式跳
一、b跳
则只有两种状态（2a−b，a，c）（2a-b，a，c）（2a−b，a，c）和（a，c，2c−b）（a，c，2c-b）（a，c，2c−b），可看做无限扩展
二、a，c绕着b跳，则有一下三种情况：
我们设d1=b−a，d2=c−bd_1 = b-a，d_2 = c-bd1=b−a，d2=c−b。
1、d1>d2d_1 > d_2d1>d2，即ccc绕bbb跳，也可理解为bbb和ccc向左平移d2d_2d2个单位
2、d1<d2d_1 < d_2d1<d2，即aaa绕bbb跳，也可理解为aaa和bbb向右平移d1d_1d1个单位
3、d1=d2d_1 = d_2d1=d2，即无法再绕bbb跳
如果一直按第二种方式跳，我们可以发现一定会得到d1=d2d_1=d_2d1=d2的状态，之后就不能再按第二种方式跳了，所以我们可以把此时的状态当作根

所以我们把某一状态按第一种方式跳之后的状态当做子节点，按第二种方式跳之后的状态作为父亲（这里还用不到求LCA）

我们把d1=d2d_1=d_2d1=d2的状态看做根，所以说当前状态到根的步数其实就是当前状态的深度
注意，我可没说要把状态储存起来

跳的优化：
有这样一个状态

如果你一步一步的跳，也许就会耗费时间。而我们可以知道，d1=k∗d2+q(q<d1)d_1 = k*d_2+q(q<d_1)d1=k∗d2+q(q<d1)，我们就可以把bbb和ccc都向左平移k∗d2k*d_2k∗d2个单位，因为题目说了，三个棋子是完全相同的，所以不用去细分次序。而a，ba，ba，b的距离就是qqq了

此题其实可以分为两个问题：

如何判断有无解
其实很好搞，只要我们一直按第二种方式跳，如果它们跳到不能再跳（到了根节点），判断根节点相不相同就行了（你莫给老子说不同子树下还有路径相连，你有毒吧）
如何搞到最小步数
这里才是LCA最大的用处。
我们知道LCA有两种思想：
1、先把两个点弄到同一深度，再一起爬山(暴力)
2、tarjan
在之前判断同一子树的时候我们就可以把深度处理出来，然后再把它们搞到同一深度，在二分枚举它们到LCA的深度，再看是否一样就行了

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;struct node{int a[4];inline void sor_t(){sort(a+1, a+1+3);return;}}fir, goal;int dep1, dep2, cnt, ans, l1, l2;bool flag;inline int dfs(node x, int &dep, int &len){int d1 = x.a[2] - x.a[1];int d2 = x.a[3] - x.a[2];while( d1 != d2 ){if( d1 >= d2 ){int s_step = d1/d2, yu = d1%d2;if( !yu ){dep += s_step-1;len = d1;return x.a[1];}d1 = yu, x.a[3] -= s_step*d2;dep += s_step, x.a[2] -= s_step*d2;}else{int s_step = d2/d1, yu = d2%d1;if( !yu ){dep += s_step-1;x.a[1] += (s_step-1)*d1;len = d2;return x.a[1];}d2 = yu, x.a[1] += s_step*d1;dep += s_step, x.a[2] += s_step*d1;}}len = d1;return x.a[1];
}inline void check(int &x, int &y, int &z, int lim){int d1 = y-x, d2 = z-y;while( lim ){if( d1 > d2 ){int s_step = d1/d2, yu = d1%d2;if( s_step >= lim ){y -= lim*d2;z -= lim*d2;if( x == y ){y = z;z = y+d2;}return;}d1 = yu, lim-=s_step;y = x + yu, z = y + d2;}else{int s_step = d2/d1, yu = d2%d1;if( s_step >= lim ){x += lim*d1, y += lim*d1;if( y == z ){y = x;x = y-d1;}return;}d2 = yu, lim -= s_step;y = z - yu, x = y - d1;}}
}int main(){for(int i = 1; i < 4; i ++)scanf("%d", &fir.a[i]);for(int i = 1; i < 4; i ++)scanf("%d", &goal.a[i]);fir.sor_t(), goal.sor_t();if(dfs(fir, dep1, l1) != dfs(goal, dep2, l2) || l1 != l2)printf("NO\n");else{puts("YES");if( dep1 > dep2 ){cnt = dep1 - dep2;check(fir.a[1], fir.a[2], fir.a[3], cnt);}else if( dep2 > dep1 ){cnt = dep2 - dep1;check(goal.a[1], goal.a[2], goal.a[3], cnt);}int l = 0, r = min(dep1, dep2);int ab[3] = {};int bc[3] = {};while( l <= r ){int mid = (l+r) >> 1;check(ab[0]=fir.a[1], ab[1]=fir.a[2], ab[2]=fir.a[3], mid);check(bc[0]=goal.a[1], bc[1]=goal.a[2], bc[2]=goal.a[3], mid);if( ab[0] == bc[0] && ab[1] == bc[1] && ab[2] == bc[2] ){ans = 2*mid;r = mid-1;}else l = mid+1;}printf("%d\n", cnt + ans);}return 0;
}

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