跳跳棋【LCA】【二分】

>Description
跳跳棋是在一条数轴上进行的。棋子只能摆在整点上。每个点不能摆超过一个棋子。

我们用跳跳棋来做一个简单的游戏：棋盘上有3颗棋子，分别在a，b，c这三个位置。我们要通过最少的跳动把他们的位置移动成x，y，z。（棋子是没有区别的）

跳动的规则很简单，任意选一颗棋子，对一颗中轴棋子跳动。跳动后两颗棋子距离不变。一次只允许跳过1颗棋子。

写一个程序，首先判断是否可以完成任务。如果可以，输出最少需要的跳动次数。

>Input
第一行包含三个整数，表示当前棋子的位置a b c。（互不相同）
第二行包含三个整数，表示目标位置x y z。（互不相同）

>Output
如果无解，输出一行NO。
如果可以到达，第一行输出YES，第二行输出最少步数。

>Sample Input
1 2 3
0 3 5

>Sample Output
YES
2

20% 输入整数的绝对值均不超过10
40% 输入整数的绝对值均不超过10000
100% 绝对值不超过10^9

>解题思路
题目大意：有一个线性的跳棋，问三个点的状态{a,b,c{a,b,c}a,b,c}能否到达{x,y,zx,y,zx,y,z}，并且输出最小步数

设{a,b,c}为S1S_1S1，{x,y,z}为S2S_2S2
通过手动模拟可以发现，一组数据{a,b,c}，a<b<ca<b<ca<b<c，可以达到三种状态：

bbb向aaa的方向跳
bbb向ccc的方向跳
离bbb近的点往bbb的方向跳，且当仅当b−a≠c−bb-a≠c-bb−a=c−b（三个点均匀分布，这样子就跳不动）

我们可以发现1、2种跳的方法是扩大范围，第3种是缩小范围，所以我们可以把第3种设为根，把第1、2种设为两个子节点，因此b−a==c−bb-a==c-bb−a==c−b的状态为根节点
如果S1S_1S1和S2S_2S2的根节点相同，就说明S1S_1S1可以到达S2S_2S2

所以我们可以进行以下步骤：

往上跳，分别寻找S1S_1S1，S2S_2S2的根，判断这两个根节点是否相等
把S1S_1S1和S2S_2S2跳到同一高度
二分向上跳的步数，看两个状态跳跃以后分别达到的状态是否相同

这里有一个很重要的加速：

如果是这种距离很长的情况，可以直接用除数加速，当然要注意重合的情况
例如设d1=b−ad_1=b-ad1=b−a，d2=c−bd_2=c-bd2=c−b，可以直接用d1/d2d_1/d_2d1/d2加速

>代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;struct node
{int x, y, z;
} s1, s2, root[5];
int dep[5];bool check (node aa, node bb)
{if (aa.x != bb.x || aa.y != bb.y || aa.z != bb.z) return 0;return 1;
}
void ssort (node &aa)
{if (aa.x > aa.y) swap (aa.x, aa.y);if (aa.x > aa.z) swap (aa.x, aa.z);if (aa.y > aa.z) swap (aa.y, aa.z);
} //排序
void getroot (node aa, int ll)
{int l; while (aa.y - aa.x != aa.z - aa.y){int d1 = aa.y - aa.x, d2 = aa.z - aa.y;if (d1 > d2){l = d1 / d2;if (d1 % d2 == 0) l--;aa.y -= l * d2, aa.z -= l * d2;}else{l = d2 / d1;if (d2 % d1 == 0) l--;aa.x += l * d1, aa.y += l * d1;}dep[ll] += l; //累计状态在树中的深度ssort (aa);}root[ll] = (node) {aa.x, aa.y, aa.z};
} //找根
node jump (node aa, int k) //状态aa往上跳k步达到的状态
{int l;while (k){int d1 = aa.y - aa.x, d2 = aa.z - aa.y;if (d1 == d2) break; //跳到根了if (d1 > d2){l = d1 / d2;if (d1 % d2 == 0) l--;if (l > k) l = k; //防止越界aa.y -= l * d2, aa.z -= l * d2;}else{l = d2 / d1;if (d2 % d1 == 0) l--;if (l > k) l = k;aa.x += l * d1, aa.y += l * d1;}k -= l;ssort (aa);}return aa;
}int main()
{scanf ("%d%d%d", &s1.x, &s1.y, &s1.z);scanf ("%d%d%d", &s2.x, &s2.y, &s2.z);ssort (s1), ssort (s2);getroot (s1, 1);getroot (s2, 2); //找根if (!check (root[1], root[2])){printf ("NO");return 0;}int d = abs (dep[1] - dep[2]); //初始状态和最终状态相差的深度if (dep[1] > dep[2]) s1 = jump (s1, d);else if (dep[1] < dep[2]) s2 = jump (s2, d); //把深度深的跳到和深度浅的同一层int l = 0, r = min (dep[1], dep[2]), mid;int m = 0;while (l <= r){mid = (l + r) / 2;node p1 = jump (s1, mid);node p2 = jump (s2, mid);if (check (p1, p2)) m = mid, r = mid - 1;else l = mid + 1;}printf ("YES\n%d", d + 2 * m); //两点到LCA的路径长度return 0;
}

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