[二叉树] 二叉树中的最大路径和---leetcode124

1. 题目描述

路径被定义为一条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列。同一个节点在一条路径序列中至多出现一次。该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。

路径和是路径中各节点值的总和。

给你一个二叉树的根节点 root ，返回其最大路径和。

2. 思路

对于任意一个节点, 如果最大和路径包含该节点, 那么只可能是两种情况:

1. 其左右子树中所构成的和路径值较大的那个（如果左子树或右子树构成的最大路径和为负数，则置为零，表示最大路径不经过这个子树）加上该节点的值后向父节点回溯构成最大路径，也可能没有左右子树，只有该节点的值往前回溯。
2. 左右子树都在最大路径中, 加上该节点的值构成了最终的最大路径。即，该节点是最大路径的根节点。

递归时，将每个结点作为一个根结点传入递归函数。对于当前的这个结点，以它为根结点，计算它左子树路径的最大和，右子树路径的最大和。通过这个结点，当前是看做是以它根结点，这个结点的最大路径和就是：左子树最大路径和（大于0的话）+右子树最大路径和（大于0的话）+根结点的值。然后更新当前计算的MAX是多少，也就是我们的结果。

递归函数的返回值是：当前这个结点的左子树最大路径和，或者是右子树最大路径和。再加上结点值。因为，这样得到的一条最大路径，就可以作为这个结点的父节点的一条路径，用于父节点的计算。

我们首先考虑什么样的路径可以是最大路径，根据题意，只要是一个结点到另一结点即可。那么我们可以分成两种：

单向路径，即路径中所有的结点都不在同一层，比如示例2中的-10→20→7。
双向路径，路径中，以根节点为最高层，左右两个单路径向两边延伸，比如示例二中的答案15←20→7。

我们考虑以每一个结点为根，可以构成的最大单向路径和maxgain为多少，叶节点的maxgain就为它本身的值，其他结点的maxgain则为它自己的值与它左右结点中较大的maxgain之和。

如示例2中，首先15和7的maxgain为本身，然后20的maxgain为20+max(15,7)=35，然后9的maxgain为本身，-10的maxgain为-10+max(9,35)=25。

我们再考虑答案与maxgain的关系，如果以某个点node为路径的根。

双向路径的和为 node.val+maxgain(node.left)+maxgain(node,right)
单向路径为 node.val+maxgain(node.left) 或 node.val+maxgain(node.right)

我们要找到这个结点为根的最大路径和，那么就是上面三个式子的最大值，而只有在左结点或右结点的maxgain<0，答案才会是下面的式子，所以我们首先判断左右结点的maxgain是不是小于0，如果小于0，置为0，这样就都可以使用上面的式子来表示了。

由于计算路径和的时候，所需的值都是这个节点以及下一层的值，所以在遍历计算maxgain的同一个递归即可完成，只要使用一个全局变量更新结果即可。

注意：最长的路径肯定是属于“从一端的最左侧到这端的最右侧” 这个完整链条的一部分。

3 Python 代码

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = Noneclass Solution:def __init__(self):    # 定义一个result属性self.result = float("-inf")def maxPathSum(self, root: TreeNode) -> int:if root == None:return 0self.getMax(root)return self.resultdef getMax(self,root):  # 定义一个辅助函数if root == None:  # 如果当前节点为空就表示包含当前节点的最大路径为0return 0# 递归的计算当前节点的左子树和右子树能提供的最大路径和，如果为负，就置为零（相当于从头开始）left = max(0,self.getMax(root.left))  right = max(0,self.getMax(root.right))# 注意：最长的路径肯定是属于从一端的最左侧到这端的最右侧的一部分# 每计算一次左右子树的最大值，就更新当前的resultself.result = max(self.result,left + right + root.val)# 往父节点回溯的话，最大路径就不能同时包含左右两个子树，# 因此需要用左右子树较大的那个子树加上当前节点的值进行回溯return max(left,right) + root.val  #（递归函数，返回的是回溯需要的式子，而不是返回最终结果（比如这里的 return result））

回溯往往可以用递归来进行实现，当运用递归函数的时候，return的不是函数实现的结果
而是回溯到上层所需要的式子（大部分最终结果和回溯返回所需要的式子是相同的），可能不是这个函数所要实现的最终功能。回溯所需要的式子，以这个题目为例，在定义getMax函数的时候，我们返回的是max（left,right）+ root.val，因为从当前节点回溯到上层父节点的话，需要给上层节点提供由当前节点和某一子树所构成的最大路径和。而最终的结果result是在递归的过程中不断地更新没有作为函数的return。