[容斥状压DP] Atcoder ARC093 F

wwwww比赛的时候题目看错了

假设我们确定的1的位置，那么接下来的每一轮，1都会和一段长度为2的幂的区间里，标号最小的人pk。

把1固定在1位置（求出最终方案数后乘上 2n2n2^n 就是答案），那么就相当于区间 [2,2][2,2][2,2]，[3,4][3,4][3,4]，[5,8][5,8][5,8]…[2n−1+1,2n][2n−1+1,2n][2^{n-1}+1,2^n] 里的最小值不在给出的集合中

考虑容斥，那么就只要求出标号在集合 SSS 中的区间的最小值在给出的集合中，其他区间随便放的方案数就可以了

把 ai" role="presentation">aiaia_i 从大到小排序，令 fi,Sfi,Sf_{i,S} 表示前 iii 个人，集合 S" role="presentation">SSS 中的区间的最小值在 aaa 中的最小值

因为把 ai" role="presentation">aiaia_i 从大到小排序了，所以每次转移只要算出之前用了多少人，乘个组合数就可以了

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N=20,P=1e9+7;int n,m,p,a[N],f[N][1<<16|5],fac[1<<16|5],inv[1<<16|5];inline int C(int x,int y){if(x<y) return 0;return 1LL*fac[x]*inv[y]%P*inv[x-y]%P;
}int pw[N];inline void add(int &x,int y){(x+=y)%=P;
}int main(){freopen("1.in","r",stdin);freopen("1.out","w",stdout);scanf("%d%d",&n,&m);pw[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=pw[i-1]*2; p=pw[n];fac[0]=1; for(int i=1;i<=p;i++) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%P;inv[1]=1; for(int i=2;i<=p;i++) inv[i]=1LL*(P-P/i)*inv[P%i]%P;inv[0]=1; for(int i=1;i<=p;i++) inv[i]=1LL*inv[i]*inv[i-1]%P;for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);sort(a+1,a+1+m); int ans=0; f[m+1][0]=1;for(int i=m;i;i--){for(int S=0;S<(1<<n);S++) f[i][S]=f[i+1][S];for(int S=0;S<(1<<n);S++){int cnt=0;for(int j=1;j<=n;j++)if(S>>(j-1)&1) cnt+=pw[j-1];int rst=p-a[i]-cnt;for(int j=1;j<=n;j++)if(S>>(j-1)&1);else{if(pw[j-1]-1>rst) continue;add(f[i][S|(1<<j-1)],1LL*f[i+1][S]*C(rst,pw[j-1]-1)%P*fac[pw[j-1]]%P);}}}for(int i=0;i<(1<<n);i++){int cur=f[1][i],cnt=0,tot=0;for(int j=1;j<=n;j++)if((i>>(j-1))&1) cnt+=pw[j-1],tot++;cur=1LL*cur*fac[p-cnt-1]%P;if(tot&1) ans=(ans-cur)%P;else ans=(ans+cur)%P;}ans=1LL*ans*p%P;printf("%d\n",(ans+P)%P);return 0;
}

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