【uoj#37/bzoj3812】[清华集训2014]主旋律状压dp+容斥原理

题目描述

求一张有向图的强连通生成子图的数目对 $10^9+7$ 取模的结果。

题解

状压dp+容斥原理

设 $f[i]$ 表示点集 $i$ 强连通生成子图的数目，容易想到使用总方案数 $2^{sum[i]}$ 减去不为强连通图的方案数得到强连通图的方案数，其中 $sum[i]$ 表示点集 $i$ 中边的数目。

考虑什么样的图不是强连通图：缩点后入度为0的强连通分量对应的点集不是全集。

枚举这些入度为0的强连通分量对应的点集，由于无法保证只有这些点构成的入度为0的强连通分量，因此需要进一步容斥。推之可以发现容斥系数与这些点形成的强连通分量数目的奇偶性有关。

更具体来讲，形成奇数个强连通分量时容斥系数为正（即减去），形成偶数个强连通分量为负（即加上）。

设 $g[i]=i个点形成奇数个强连通分量的方案数-i个点形成偶数个强连通分量的方案数$ ，那么枚举 $i$ 中编号最小的点所在连通块 $i-j$ （即枚举剩下部分 $x$ 不与编号最小的点相连的强连通分量 $j$ ），则有 $g[i]=-\sum\limits_{j\subset x}f[i-j]·g[j]$ 。注意此时的 $g$ 不包含 $i$ 只形成一个强连通分量的情况，以便下面 $f$ 的容斥。

那么枚举钦定的入度为0的强连通分量 $j$ ，就有 $f$ 的转移：$f[i]=2^{sum[i]}-\sum\limits_{j\subset i}2^{sum[i]-w[j]}·g[j]$ ，其中 $w[j]$ 表示 $i$ 向 $j$ 连边的数目，表示钦定的点不能被连边，其它的随意连。

最后将只有一个强连通分量的方案 $f[i]$ 算进 $g[i]$ 。

答案就是 $f[2^n-1]$ 。

时间复杂度 $O(3^n)$

#include <cstdio>
#define N 32775
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
int in[N] , out[N] , cnt[N] , sum[N] , w[N];
ll b[215] , f[N] , g[N];
void dfs(int i , int j)
{if(i & (j - 1)) dfs(i , i & (j - 1));w[j] = w[j - (j & -j)] + cnt[in[j & -j] & i];
}
int main()
{int n , m , i , j , x , y;scanf("%d%d" , &n , &m);b[0] = 1;for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ){scanf("%d%d" , &x , &y) , x -- , y -- ;in[1 << y] |= 1 << x , out[1 << x] |= 1 << y;b[i] = b[i - 1] * 2 % mod;}for(i = 1 ; i < (1 << n) ; i ++ ){x = i - (i & -i) , cnt[i] = cnt[x] + 1 , sum[i] = sum[x] + cnt[in[i & -i] & i] + cnt[out[i & -i] & i] , f[i] = b[sum[i]];dfs(i , i);for(j = x ; j ; j = x & (j - 1)) g[i] = (g[i] - f[i ^ j] * g[j] % mod + mod) % mod;for(j = i ; j ; j = i & (j - 1)) f[i] = (f[i] - b[sum[i] - w[j]] * g[j] % mod + mod) % mod;g[i] = (g[i] + f[i]) % mod;}printf("%lld\n" , f[(1 << n) - 1]);return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/8678089.html

【uoj#37/bzoj3812】[清华集训2014]主旋律状压dp+容斥原理相关推荐

UOJ#37. 【清华集训2014】主旋律
题目大意: 传送门题解: 神题--Orz. 首先正难则反. 设$f_S$表示选取点集状态为s时,这部分图可以构成非强联通图的方案数. 设$p_{S,i}$表示点集s缩点后有i个入度为0点的方案数,保 ...
uoj#38. 【清华集训2014】奇数国（线段树+数论）
传送门不难看出就是要先求区间积,再求这个区间积的$\varphi$ 因为\(\varphi(x)=x\times\frac{p_1-1}{p_1}\times\frac{p_2-1}{p_2}\ ...
[清华集训2014]主旋律
题目传送门 to UOJ 思路好像思路都是靠 R a i n y B u n n y \sf RainyBunny RainyBunny 讲的,自己完全不会啊,哭了. 要求图是强连通的,这个很难直 ...
[UOJ]#36. 【清华集训2014】玛里苟斯线性基+分类讨论
题意: 魔法之龙玛里苟斯最近在为加基森拍卖师的削弱而感到伤心,于是他想了一道数学题. SSS 是一个可重集合,S=a1,a2,-,anS={a1,a2,-,an}S=a1,a2,-,an. 等概率随机 ...
uoj#36. 【清华集训2014】玛里苟斯（线性基+概率期望）
传送门为啥在我看来完全不知道为什么的在大佬们看来全都是显然-- 考虑$k=1$的情况,如果序列中有某一个$a_j$的第$i$位为$1$,那么$x$的第$i$位为$1$的概 ...
【BZOJ-2669】局部极小值状压DP + 容斥原理
2669: [cqoi2012]局部极小值 Time Limit: 3 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 561 Solved: 293 [Submit][Stat ...
【清华集训2014】【BZOJ3812】主旋律
Description 响应主旋律的号召,大家决定让这个班级充满爱,现在班级里面有 n 个男生. 如果 a 爱着 b,那么就相当于 a 和 b 之间有一条 a→b 的有向边.如果这 n 个点的图是强联 ...
【清华集训2014】Sum）（类欧几里得算法）
[清华集训2014]Sum 然后本质上我们需要求解的就是那个带根号式子的奇偶性,然后我们发现这个式子很像是类欧几里得算法,求解一个斜率为无理数直线下的整点个数,然后我们直接对于一般形式求解,那么就是每 ...
清华集训2014 玛里苟斯
清华集训2014 玛里苟斯求子集异或和k次方的期望. 异或考虑按位算贡献. 对于$K=1$,考虑异或和$\frac{x}{2}$就是答案. 证明简单来说就是,你可以先打一个概率$dp$分 ...

【uoj#37/bzoj3812】[清华集训2014]主旋律状压dp+容斥原理

【uoj#37/bzoj3812】[清华集训2014]主旋律状压dp+容斥原理相关推荐

最新文章

热门文章

【uoj#37/bzoj3812】[清华集训2014]主旋律 状压dp+容斥原理

【uoj#37/bzoj3812】[清华集训2014]主旋律 状压dp+容斥原理相关推荐

最新文章

热门文章

【uoj#37/bzoj3812】[清华集训2014]主旋律状压dp+容斥原理

【uoj#37/bzoj3812】[清华集训2014]主旋律状压dp+容斥原理相关推荐