（二）MATLAB数学建模—

一、简介

二、线性规划

（一）线性规划问题解的概念

（二）实例运用

三、非线性规划

（一）非线性规划问题解的概念

（二）实例运用

一、简介

规划类问题是常见的数学建模问题，利用Matlab可以简单快速的得到所要的结果。本章主要介绍如何利用Mtalab的内置命令解决线性规划和非线性规划类问题。

二、线性规划

线性规划问题主要包括以下几个要素：①决策变量；②目标函数；③约束条件。

其中，决策标量就是常用变量x，y；目标函数存在最大值和最小值两种形式；约束条件的不等号可以是小于号，也可以是大于号。

（一）线性规划问题解的概念

步骤一：化标准型。为了避免线性规划问题的形式多样性，首先就要对其化标准型。

一般线性规划问题的标准型为：

目标函数：目标函数：minz=∑j=1ncjxj

约束条件：，，，，约束条件：∑j=1naijxj≤bj，i=1，2，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，m

步骤二：提取相关系数矩阵

matlab中规定线性规划的标准形式为：

目标函数：目标函数：minz=cTx

约束条件：约束条件：Ax≤b

其中c和x为n维列向量；b为m维列向量；A为m × n矩阵。

步骤三：运用matlab函数指令求解

基本函数调用形式为：

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,OPTIONS);

其中，x为返回目标函数的最优解，fval返回的目标函数的最优值。

Aeq和Beq对应等式约束Ax=b；LB和UB分别是变量x的上界和下界；X0是x的初始值；OPTIONS是控制参数。

（二）实例运用

例1：

目标函数：maxz=2x1+3x2−5x3

约束条件：x1+x2+x3=7

……………… 2x1−5x2+x3≥10

……………… ，，x1，x2，x3≥0

化为标准型为：

目标函数：minz=−2x1−3x2+5x3

约束条件：x1+x2+x3=7

……………… −2x1+5x2−x3≤10

……………… ，，x1，x2，x3≥0

clc;
clear all;
c=[-2;-3;5];
A=[-2,5,-1];
b=10;
Aeq=[1,1,1];
Beq=7;
[x,favl]=linprog(c,A,b,Aeq,Beq,zeros(3,1));
disp(['x1：' num2str(x(1))])
disp(['x2：' num2str(x(2))])
disp(['x3：' num2str(x(3))])
disp(['目标函数最优值：' num2str(favl)])

结果如下图所示：

三、非线性规划

如果目标函数或约束条件包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性问题。

（一）非线性规划问题解的概念

在matlab中，非线性规划模型的数学模型可写成以下形式：

minf(x)

Ax≤B

Aeq×x=beq

C(x)≤0

Ceq(x)=0

其中和C(x)和Ceq(x) 是非线性向量函数。

matlab中的命令是：

[x,favl]=fmincon(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)

其中，x和favl是返回的最优解和最优值。

FUN是定义的目标函数 f(x) ；

X0是初始值；

A，B，Aeq，Beq定义了线性约束 Ax≤B ， Aeq×x=beq ，如果没有，则用[]代替；

LB和UB是x的上界和下界，如果没有，则用[]代替；

NONLCON是定义的非线性向量函数和C(x)和Ceq(x) ;

OPTIONS是优化参数。

（二）实例运用

例2：

maxz=x1+x2+x3+x4

x1≤400

1.1x1+x2≤440

1.21x1+1.1x2+x3≤484

1.331x1+1.21x2+1.1x3+x4≤532.4

，，，，xi≥0，i=1，2，3，4

注意：计算过程中别忘了先化标准型（此处过程略）

①编写M文件定义目标函数

function f = fun(x)
f=-sqrt(x(1))-sqrt(x(2))-sqrt(x(3))-sqrt(x(4));
end

②编写M文件定义所有非线性向量函数

function [C,Ceq] =NONLCON(x)
C(1)=x(1)-400;
C(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;
C(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;
C(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.5;
Ceq=0;
end

③编写主程序

clc;
clear all;
X0=ones(4,1);  %定义初始值
LB=zeros(4,1); %定义下界
UB=[];
A=[];
B=[];
Aeq=[];
Beq=[];
[x,favl]=fmincon('fun',X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,'NONLCON');
disp(['x1：' num2str(x(1))])
disp(['x2：' num2str(x(2))])
disp(['x3：' num2str(x(3))])
disp(['x4：' num2str(x(4))])
disp(['最优解为：' num2str(favl)])

结果如下图所示：