matlab数学建模2乒乓球的弹跳和罗基斯帝模型.doc

1乒乓球的弹跳罗基斯第模型问题罗基斯第模型一个乒乓球离球拍的高度为H0，落在球拍上反弹，设恢复系数为E，不计空气阻力。1如果E为常数，讨论球的高度变化的规律。如果E2与高度HN成线性关系E2Μ1–HN/H021其中H0是最大高度，Μ是参数。对于不同的参数讨论小球高度的变化规律。2当参数连续变化时，分析最后分布的高度。3计算前几个分岔点。4用李雅普洛夫指数判断混沌的发生。解析1当球从高度HN下落到球拍上之前速度为222NNVGH球与球拍碰撞后反弹的速度为V NEVN23球反弹的高度为HN1E2HN24如果E1，例如球拍每次加一个向上的冲击力，则球的高度随次数不断增加。E2与高度的线性关系说明如果球的高度较大，则恢复系数较小，反之较大。设相对高度为XNHN/H0，则下一次上升的相对高度为XN1Μ1–XNXN，N0,1,2,25这是著名的罗基斯第模型。由于相对高度0≤XN≤1，而1–XNXN的最大值为1/4，所以参数的值在0到4之间。球的高度强烈依赖参数。算法1先取一个参数，再取一个相对高度，通过迭代算法计算下一次碰撞后的高度，画出高度点，依此类推。再取另一高度参数，重新通过迭代算法计算高度，画出高度点，依此类推。程序MATH2_1M如下。乒乓球与球拍的碰撞高度CLEAR清除变量U 请输参数参考值05,2,325,35,356,38 键盘输入初始相对高度1XN09第1个的初始相对高度2FIGURE开创图形窗口PLOT0,XN, 画高度点TEXT0,XN,NUM2STRXN, FONTSIZE ,16标记第1个的初始高度GRIDMINOR加细网格TITLE 乒乓球与球拍的碰撞高度\IT\MU\RM ,NUM2STRU, , FONTSIZE ,16标题N50迭代次数AXIS0,N,0,1坐标范围HOLDON保持图像FORJ1N按次数循环XNU1XNXN计算下一次的相对高度3PLOTJ,XN, 画高度点2END结束循环XN01取初始相对高度4PLOT0,XN, RO 画高度点TEXT0,XN,NUM2STRXN, FONTSIZE ,16初始高度FORJ1N按次数循环XNU1XNXN计算下一次的相对高度5PLOTJ,XN, RO 画高度点END结束循环说明1程序执行时要用户用键盘输入参数，提供6个参数选择。2取第1个较大的初始高度。3迭代计算下一个高度。4取第2个较小的初始高度。在说明混沌时，将此句改写如下，使第2个高度比第1个高度大一点。E1E8小量XN09E取初始相对高度TEXT0,0,NUM2STRE, FONTSIZE ,16初始高度5同样迭代计算下一个高度。M21A图M21B图图示1如M21A图所示，当参数Μ为05时，如果初始相对高度取09，球与球拍碰撞之后高度不断降低，最终的高度为零。即使初始相对高度取02，球与球拍碰撞之后高度也不断降低，最终的高度为零。M21C图M21D图2如M21B图所示，当Μ为2时，如果初始相对高度取09，球第一碰撞之后高度降低，以后碰撞则高度升高，最后碰撞保持一定的高度。如果初始相对高度取02，则碰撞高3度不断增加，最后稳定在一定的高度。高度稳定前的过程称为过渡过程或暂态过程，过渡过程与初始高度有关，但是最后高度的稳定与初始高度无关。高度值称为不动点，即重复自身轨迹的点。3如M21C图所示，当Μ为325时，不论初始高度如何，经过过程期后，球最后在2个高度之中交替变化。不动点的个数随参数的增加而增加。4如M21D图所示，当Μ为35时，不论初始高度如何，经过过程期后，球最后在4个高度之中交替变化，只是过渡过程稍微长一点。不动点的个数随参数的增加而进一步增加。5如M21E图所示，当Μ为357时，不论初始高度如何，经过过渡期后，球最后在8个高度之中交替变化。6如M21F图所示，当Μ为38时，第1个初始相对高度取09，第2个初始相对高度取02，球的高度杂乱无章地变化。7如M21G图所示，Μ不变，第1个初始相对高度不变，第2个初始相对高度只增加105，以后的高度变化也迥然不同。8如M21H图所示，Μ不变，第1个初始相对高度不变，第2个初始相对高度稍大一点108，以后的高度变化也迥然不同。这种对于初始条件十分敏感的运动称为混沌运动。M21E图M21F图M21G图M21H图解析2当参数连续变化时，同样利用25式计算高度。当迭代次数N足够多的时候，对于周期性的不动点，XN就代表稳定值X∞。取Μ为自变量，取XX∞为函数，可作ΜX曲线。算法2Μ从0到4连续取值，先通过迭代算法筛去过渡值，继而用迭代算法获取迭代的结果，画出迭代图。程序M2_2M如下。4罗基斯第模型的倍周期分岔和混沌图CLEAR清除变量X02初始值可任取U0000014参数向量1N1000迭代次数2FORI0N按迭代次数循环XUXX2迭代计算消除暂态过程3END结束循环FIGURE开创图形窗口GRIDON加网格XLABEL \IT\MU , FONTSIZE ,16横坐标YLABEL \ITX , FONTSIZE ,16纵坐标TITLE 罗基斯第模型的倍周期分岔和混沌图 , FONTSIZE ,16标题HOLDON保持图像CC BGRK 颜色代码4FORI126再按迭代次数循环XUXX2迭代一次PLOTU,X, CCMODI,41, MARKERSIZE ,1画点图5END结束循环说明1参数向量的间隔很小，可当作连续分布的。2进行1000次迭代，对于周期性运动，可筛去不稳定的点相对高度。3变量X的初值是一个数值，第一次迭代之后就变成与U同样大小的向量。X的每一个元素都代表U的对应元素的点相对高度，这就是用向量的好处。4取4种颜色符号。5M22图5在循环中画点时，对于周期运动，画出的同一高度；对于混沌运动，则画不同高度。每循环4轮用同一颜色画点。图示如M22图所示，当参数Μ从0到1时，高度为零；当Μ从0到3时，高度有一个不为零的值；当Μ3时，高度首先有两个值，然后分岔为4个值，再分岔为8个值，，这种情况称为倍周期分岔；当Μ达到某一值时，系统进入混沌状态。混沌图还有复杂的结构。解析3在倍周期分岔中，分岔点划分了周期的范围。设二元函数FΜ,XΜ1–XX26对于周期1不动点，当N→∞时，有XN1→X∞，XN→X∞，X∞是不动点，用X表示X∞，可得XFΜ,XΜ1–XX27由此解得X10，X21–1/Μ28不动点X1与参数无关，称为平凡不动点。不动点X2与参数有关，称为本征不动点。由于0≤XN≤1，所以X2≥1。函数对自变量的导数为29,12XFF不动点的稳定条件是|FX|1时，X1是不稳定的不动点，或者说X1失稳。Μ11是一个分岔点。对于本征不动点，由于2122,,2XXFF只有满足13时，FX3时，X才有不相等的实数解，就是产生周期2的不动点。不动点稳定条件是|FXΜ,X3FXΜ,X4|1可得16160由于，必有602183当GΜ1时，解得Μ3和1。由GΜ3。因此，在Μ2Μ3时，X3和X4失稳，因此Μ3是分岔点，分岔值为X30440，X408499219算法3当迭代次数N足够多的时候，对于周期性的不动点，XN就代表稳定值X∞。Μ从0到Μ3连续取值，通过迭代算法最后