均值定理六个公式_三角形的面积公式九叙
本文将推导出一些与向量和立体几何相关的三角形面积公式。
以三角形ABC的一个顶点为起点，另外两个顶点为终点，则有六个向量，我们分别求出它们的数量积：
我们记
公式六十八。
公式六十九：
我们将两个公式分开，就是为了提醒读者在向量运算时使用公式六十八，平面几何运算时使用公式六十九。因为向量既可以是平面向量，也可以是空间向量，所以公式六十八在空间中依然成立。特别的，当向量以坐标形式表示时，计算尤为简洁。
对于空间向量，《三角形的面积公式七叙》中已经给出了向量积的公式，这里，我们再给出一个用第四点指向三个顶点的向量的公式。
公式七十：
其中O为不与A、B、C重合的一点。
证明如下：
道理很简单，不必详述，一般情况下，O都会选择坐标原点。
接下来，我们再探讨一个立体几何问题。
如上图所示，O-ABC是一个直角四面体，即OA，OB，OC两两相互垂直，长度分别为a'，b'，c'。h为O到面ABC的距离，即以O为顶点，面ABC为底面的四面体的高，我们来求解一下三角形ABC的面积和高h。三角形ABC的量表示方式不变。
由勾股定理：
带入秦九韶公式：
记为公式七十一。
同时，我们发现：
于是：
即：
记为公式七十二。同时我们可以把此式看成立体几何的勾股定理，直角四面体对应于直角三角形，边长对应于面的面积，这种把线看成是面的类比，用在立体几何中，有时候会显得特别有用，我们将会在日后说到四面体时详细论述。
将四面体的体积以面ABC为底面和以面BOC为底面，分别做体积公式，
即：
即：
即：
于是：
变形可以得到：
总结：向量形式的公式在有关向量的问题中会显得比较有用，直角四面体相关的面积公式可以看成是一类特殊问题的求解，它所反映出来的与平面几何中的对应关系是值得深入讨论的，记住这些相似的公式，往往可以给我们解决问题带来全新的思路。
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