树链剖分——杨子曰算法

先搞一道题，给一个n个结点的树（n<=30000），每个结点上有一个权值，然后是m个询问（m<=200000）,对于每个询问k,a,b，如果k为1，则输出从a到b路径上的和，如果k为2，则将结点a的权值变为b

今天我们来曰树链剖分，听听这名字，就透露着一种大佬的气息。看到题目，你要想到一个东东——LCA（不知道它是神马鬼的童鞋戳我），倍增的去求和是很好的想法，但还要update的事实告诉你现实的残酷（TLE）。
你还要想到另一个东东——线段树（不知道它是神马鬼的童鞋请停止阅读这篇文章，然后戳我），BBUUTT，线段树做的是区间，要建立在一维（二维也可以）的链上，这里是一棵树，肿么办——树链剖分就是把一棵树咔嚓咔嚓地砍几下，变成几条链，然后在线段树搞一搞，完事！我们开始：

对于一棵树，我们要把它砍成几条链，砍成的链越少越好，链越少复杂度越低，这一点，地球人都知道，至于怎样把一棵树砍成尽量少尽量的链呢？先look at the 图：
这是一棵树（废话）：

这是被我们剖分（砍）完以后的树：

总共是三条链，到底怎么分呢？
首先你要知道一个东西叫——重儿子（有人说：就是所有儿子中体重最重的），就是这个点的所有儿子中拥有子树最大的
比如上面那个图：2就是1的重儿子，5就是2的重儿子
这样一来我们就可以把链的一端从更结点出发，向重儿子延续这条链，在用重儿子继续DFS下去，至于其他的儿子则作为新的一条链的链顶，用同样的方法DFS下去，我们就把一棵树剖分好了，但代码打起来，没有你想象的简单，你需要写两个DFS，之前也说了，我们一会要把这棵树投射到线段树上，所以我们要把树上的每个节点重新编号——这是用来做线段树的编号，注意，编号时，同一条链上的点编号需要是连续的（待会你就知道为什么了）。这比较简单只要在剖分找重儿子的时候顺便编个号就好了
现在，我们开始讲两个DFS：

第一个DFS
你需要求：
- f[i] (结点i的父亲) 作用：用于DFS灌水以及后面求和
- dep[i] (结点i的深度) 作用：后面求和
- sz[i] (以i为根节点的这棵子树的大小（节点数）) 作用求son[i]
- son[i] (结点i的重儿子) 作用：第二个的DFS进行树链剖分
我觉得第一个DFS特别简单，直接代码走起：

void dfs1(int v,int fa,int d){sz[v]=1;f[v]=fa;dep[v]=d;for (int i=head[v];i!=-1;i=edge[i].next){int u=edge[i].to;if (u==fa) continue;dfs1(u,v,d+1);sz[v]+=sz[u];if (!son[v] || sz[u]>sz[son[v]]) son[v]=u;}
}

第二个DFS
你需要求：
- top[i]（结点i所在这条链的链顶）
- id[i] (结点i在线段树的编号)
  写代码时我们把重儿子单独写出来，看看代码应该就懂了，走起：

void dfs2(int v,int fa,int tp){top[v]=tp;id[v]=++sum;if (son[v]) dfs2(son[v],v,tp);for (int i=head[v];i!=-1;i=edge[i].next){int u=edge[i].to;if (u==fa || u==son[v]) continue;dfs2(u,v,u);}
}

哦，历经千辛万苦，我们终于把这道题的准备工作做完了，这棵树已经被我们砍成几条链了，接下来就是求和，相信有很多大佬在前面的时候就已经有疑问了，如果要询问的两个点在同一条链上，那结点编号就是连续的，放在线段树上搞一搞，很简单，BUT更多的时候询问的两个点不在同一条链上呀，那肿么办？杨子曰：别急，马上就明白了
假设我们现在要求两个不在同一条链上的两个节点x,y路径上的和

1.只要x，y不在同一条链上，就重复2，否则进行3：
2.将x，y中所在链的链顶较低的点，跳到这条链的链顶的父亲，并算出跳跃部分的和（这段和是可以算的，因为它在一条链上，链上的点在线段树上是一个区间）
3.现在x，y在一条链上了，这就意味着这段路径的和可以算了，完事！
我们搞个实例模拟一下：

现在x，y不在同一条链上，比较下绿色链和蓝色链的链顶，发现x所在的绿色链链顶低（深度大），我们把x跳到链顶的父亲结点1，算出S1部分的和，再比较下红色链和蓝色链的链顶，发现y所在的蓝色链链顶低，我们把y跳到链顶的父亲结点2，算出S2部分的和,现在x,y（分别在1,2）都在同一条红色链上了，算出S3，欧了。
这里线段树的操作asksum，update就不多说了自己戳

提一下：如果你想路径update也可以，你就需要像算和那样跳着在线段树上更新

代码走起：

long long Qsum(int x,int y){long long ans=0;while(top[x]!=top[y]){int f1=top[x],f2=top[y];if(dep[f1]<dep[f2]){ans+=asksum(1,n,id[f2],id[y],1);y=f[f2];}else{ans+=asksum(1,n,id[f1],id[x],1);x=f[f1];}}if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);ans+=asksum(1,n,id[x],id[y],1);return ans;
}

如果你还知道神马是LCA的话（不知道，戳我），你就可以用树链剖分求LCA（←它比倍增更快更优）
OK，完事

完整模板C++代码（HYSBZ - 1036）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;struct Edge{int next,to;
}edge[120005];int sum=0,nedge=0,n;
int head[60005],sz[60005],f[60005],dep[60005],son[60005],top[60005],id[60005],w[60005];
int maxx[240005];
long long summ[240005];void addedge(int a,int b){edge[nedge].to=b;edge[nedge].next=head[a];head[a]=nedge++;
}void dfs1(int v,int fa,int d){sz[v]=1;f[v]=fa;dep[v]=d;for (int i=head[v];i!=-1;i=edge[i].next){int u=edge[i].to;if (u==fa) continue;dfs1(u,v,d+1);sz[v]+=sz[u];if (!son[v] || sz[u]>sz[son[v]]) son[v]=u;}
}void dfs2(int v,int fa,int tp){top[v]=tp;id[v]=++sum;if (son[v]) dfs2(son[v],v,tp);for (int i=head[v];i!=-1;i=edge[i].next){int u=edge[i].to;if (u==fa || u==son[v]) continue;dfs2(u,v,u);}
}void pushup(int nod){maxx[nod]=max(maxx[nod*2],maxx[nod*2+1]);summ[nod]=summ[nod*2]+summ[nod*2+1];
}void update(int l,int r,int k,int v,int nod){if (l==r){maxx[nod]=v;summ[nod]=v;return;}int mid=(l+r)/2;if (k<=mid) update(l,mid,k,v,nod*2);else update(mid+1,r,k,v,nod*2+1);pushup(nod);
}int askmax(int l,int r,int ll,int rr,int nod){if (l==ll && r==rr) return maxx[nod];int mid=(l+r)/2;if (rr<=mid) return askmax(l,mid,ll,rr,nod*2);else if (ll>mid) return askmax(mid+1,r,ll,rr,nod*2+1);else return max(askmax(l,mid,ll,mid,nod*2),askmax(mid+1,r,mid+1,rr,nod*2+1));
}int Qmax(int x,int y){int ans=-200000000;while(top[x]!=top[y]){int f1=top[x],f2=top[y];if (dep[f1]<dep[f2]) {ans=max(ans,askmax(1,n,id[f2],id[y],1));y=f[f2];}else{ans=max(ans,askmax(1,n,id[f1],id[x],1));x=f[f1];}}if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);ans=max(ans,askmax(1,n,id[x],id[y],1));return ans;
}long long asksum(int l,int r,int ll,int rr,int nod){if (l==ll && r==rr) return summ[nod];int mid=(l+r)/2;if (rr<=mid) return asksum(l,mid,ll,rr,nod*2);else if (ll>mid) return asksum(mid+1,r,ll,rr,nod*2+1);else return asksum(l,mid,ll,mid,nod*2)+asksum(mid+1,r,mid+1,rr,nod*2+1);
}long long Qsum(int x,int y){long long ans=0;while(top[x]!=top[y]){int f1=top[x],f2=top[y];if(dep[f1]<dep[f2]){ans+=asksum(1,n,id[f2],id[y],1);y=f[f2];}else{ans+=asksum(1,n,id[f1],id[x],1);x=f[f1];}}if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);ans+=asksum(1,n,id[x],id[y],1);return ans;
} int main(){memset(head,-1,sizeof(head));scanf("%d",&n);for (int i=1;i<n;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);addedge(a,b);addedge(b,a);}dfs1(1,0,1);dfs2(1,0,1);for (int i=1;i<=n;i++){int x;scanf("%d",&x);update(1,n,id[i],x,1);}int m;scanf("%d",&m);while(m--){char s[10]; scanf("%s",s);if (strcmp(s,"QMAX")==0){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);printf("%d\n",Qmax(x,y));}if (strcmp(s,"QSUM")==0){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);printf("%lld\n",Qsum(x,y));}if (strcmp(s,"CHANGE")==0){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);update(1,n,id[x],y,1);}}return 0;
}

于 XJZX 507机房
未经作者允许，严禁转载：https://blog.csdn.net/HenryYang2018/article/details/81000472

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