Luogu P5556 圣剑护符（线性基，树链剖分，线段树）

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Problem

小L 和小K 面前的圣剑由 nnn 块护符组成，分别编号为 1,2,…,n1,2,\ldots , n1,2,…,n ，有 n−1n-1n−1 条咒力线连接两块护符，形成了一个树形结构。

经过小L 和小K 的长时间的研究，他们发现护符之间的相互作用并不复杂。每块护符都有一个属性值，第 iii 块护符的属性值记为 viv_ivi 。这个值的每个二进制位上的 000 或 111 表示这块护符是否拥有特定属性。所有属性值中相同的二进制位对应的是相同的属性。

对于一系列护符（护符的集合），对于每种特定属性，统计其中包含这一属性的护符数量，如果为偶数，则这一系列护符形成了干涉，最终的属性值对应的二进制位上为 000 ，如果为奇数则干涉后剩下了一块护符的影响，对应的二进制位为 111 。也就是说， 护符集合的属性值为单个护符的属性值的异或和 。空集的属性值定义为 000 。

现在，小L想知道，如果取出两块护符 x,yx,yx,y 间的简单路径上的所有护符，能否找到两个不相等的子集，使得两个子集的属性值相同（注意到空集也是路径上所有护符集合的子集）。同时，小K会将两块护符间的路径上的所有护符取出进行调整，将所有这些护符的属性值在某些相同二进制位上进行修改（即 000 变为 111 ，111 变为 000 ），可以看做是将所有这些护符的属性值异或上了一个值。

1≤n,q≤105,1≤x,y≤n,0≤vi,z<2301\le n,q\le 10^5,1\le x,y\le n,0\le v_i,z< 2^{30}1≤n,q≤105,1≤x,y≤n,0≤vi,z<230

Solution

题目比较长，简而言之就是对于任意路径，看做一个数列，我们可以从中选取两个子集，这两个子集的异或和相等，我们显然可以将这两个异或和相等的自己再次异或，得到一个异或和为 000 的子集，由于路径上一定存在空集，空集异或和为 000 ，该异或和为 000 的子集就与空集配对，输出 YES，也就是说题目所求是，是否存在一个非空子集，且该子集的异或和为 000 。

考虑求异或和显然可以使用线性基。我们对于一条路径，我们可以求出它的线性基，就可以快速求得他们能够异或得到的值。

对于路径上的值，一个一个添加至线性基中，对于当前的值 vxv_xvx，若加入后出现某子集的异或和为 000，说明加入 vxv_xvx 前的线性基可以异或线性表出 vxv_xvx，此时我们使用线性基 insert vxv_xvx 就会失败，直接输出 YES 即可。

考虑树上路径问题，以及路径修改问题，可以使用树链剖分 + 线段树解决，但是发现时间复杂度为 O(nlog⁡5v)O(n\log^5 v)O(nlog5v)，考虑能否优化。

我们发现输入的数据 vi≤230v_i\le 2^{30}vi≤230，也就意味着线性基的维度不超过 303030，假设一条路径上有 num≥30num\ge30num≥30 个点，每次插入一个点，假设他们都线性无关，也最多能插入 303030 个点，超过 303030 个点，开始的 303030 个点由于线性无关组成了线性基，新加入的点一定能够被线性表出，直接输出 YES 即可。若前面插入的并不是全部线性无关，显然也直接输出 YES 即可。

因此我们只需要在路径长度小于 303030 的时候暴力做树链剖分，大于 303030 的时候直接输出 YES 即可。

时间复杂度 O(nlog⁡2n)O(n\log^2 n)O(nlog2n)

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1e5 + 7, maxm = maxn << 1 | 7;int n, m, s, t, ans;
int head[maxn], edge[maxm], nex[maxm], ver[maxm], tot;
int hson[maxn];
int depth[maxn];
int siz[maxn];
int fa[maxn];
int dfn[maxn], idx;
int a_after[maxn];
int top[maxn];
int id[maxn];
bool flag;
bool vis[maxn];
int v[maxn];
int q;struct Segment_tree
{struct Tree{int l, r, num, laz;}tr[maxn << 2];void pushdown(int p){if(tr[p].laz) {tr[p << 1].laz ^= tr[p].laz;tr[p << 1].num ^= tr[p].laz;tr[p << 1 | 1].laz ^= tr[p].laz;tr[p << 1 | 1].num ^= tr[p].laz;tr[p].laz = 0;}}void modify(int p, int l, int r, int v){if(tr[p].l > r || tr[p].r < l) return ;if(tr[p].l >= l && tr[p].r <= r) {tr[p].num ^= v;tr[p].laz ^= v;return ;}pushdown(p);modify(p << 1, l, r, v);modify(p << 1 | 1, l, r, v);}int query(int p, int pos){if(tr[p].l == tr[p].r) return tr[p].num;pushdown(p);int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;if(pos <= mid) return query(p << 1, pos);return query(p << 1 | 1, pos);}void print(int p){if(tr[p].l == tr[p].r) printf("%d ", tr[p].num);else {pushdown(p);print(p << 1);print(p << 1 | 1);}}void build(int p, int l, int r){tr[p].l = l, tr[p].r = r;tr[p].num = 0, tr[p].laz = 0;if(l == r) return ;int mid = l + r >> 1;build(p << 1, l, mid);build(p << 1 | 1, mid + 1, r);}
}ST;void add(int x, int y)
{ver[tot] = y;nex[tot] = head[x];head[x] = tot ++ ;
}void dfs1(int x, int father, int depths)
{siz[x] = 1;fa[x] = father;depth[x] = depths;int max_son_size = -1;for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {int y = ver[i];if(y == father) continue;dfs1(y, x, depths + 1);siz[x] += siz[y];if(siz[y] > max_son_size)hson[x] = y, max_son_size = siz[y];}
}void dfs2(int x, int topfa)
{dfn[x] = ++ idx;id[idx] = x;a_after[idx] = v[x];top[x] = topfa;ST.modify(1, idx, idx, v[x]);if(hson[x] == 0) return ;dfs2(hson[x], topfa);for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {int y = ver[i];if(y == fa[x] || y == hson[x]) continue;dfs2(y, y);}
}int get_lca(int x, int y)
{while(top[x] != top[y]) {if(depth[top[x]] > depth[top[y]])x = fa[top[x]];else y = fa[top[y]];}if(depth[x] < depth[y]) return x;return y;
}struct leaner_basis
{int b[31];void init() {memset(b, 0, sizeof b);}bool insert(int x) {for(int i = 31 - 1;i >= 0; -- i){if((x & (1 << i)) == 0)continue;if(b[i] == 0){b[i] = x;return true;}x ^= b[i];}return false;}
}B;bool work(int lca, int x, int y)
{B.init();if(B.insert(ST.query(1, dfn[lca])) == 0)return true; while(x != lca) if(B.insert(ST.query(1, dfn[x])) == 0) return true;else x = fa[x];while(y != lca) if(B.insert(ST.query(1, dfn[y])) == 0) return true;else y = fa[y];return false;
}void update(int x, int y, int z)
{while(top[x] != top[y]) {if(depth[top[x]] < depth[top[y]])swap(x, y);ST.modify(1, dfn[top[x]], dfn[x], z);x = fa[top[x]];}if(dfn[x] > dfn[y])swap(x, y);ST.modify(1, dfn[x], dfn[y], z);
}signed main()
{memset(head, -1, sizeof head);scanf("%lld%lld", &n, &q);for (int i = 1; i <= n; ++ i)scanf("%lld", &v[i]);for (int i = 1; i <= n - 1; ++ i) {int x, y;scanf("%lld%lld", &x, &y);add(x, y);add(y, x);}  ST.build(1, 1, n); dfs1(1, -1, 1); dfs2(1, 1);for (int i = 1; i <= q; ++ i) {string ch;cin >> ch;if(ch == "Query") {int x, y;scanf("%lld%lld", &x, &y);int lca = get_lca(x, y);int dist = depth[x] + depth[y] - 2 * depth[lca] + 1;//经过的点数if(dist > 30)puts("YES");else {if(work(lca, x, y))puts("YES");else puts("NO");}}else {int x, y, z;scanf("%lld%lld%lld", &x, &y, &z);update(x, y, z);}}return 0;
}

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