椭圆 标准方程 离心率 圆的标准方程
半长轴距离为a,半焦点间的距离(简称焦距)为c 有:c^2=a^2-b^2
第1个椭圆是 到点F1(-c,0) 、F2(c,0)的距离之和=2a的点 M 的轨迹 第2个椭圆 F1(0,c) F2(0,-c)
点F1 F2为焦点
有:MF1+MF2=2a
例1: 平面内两个定点(-4,0)和(4,0) ,椭圆上有一点P到这两点的距离和为10,求点P的轨迹方程
由题意知: 焦点在x轴;2a=10; c=4;
得出 a=5, c=4 => b^2=5^2-4^2=9
轨迹方程:x^2/25 + y^2/9 = 1
例2:椭圆的两个焦点为(0,2)和 (0,-2), 且椭圆经过点(-3/2,5/2) ,求椭圆的标准方程
由题意知: 焦点在y轴; 有一轨迹点P(-3/2, 5/2);
有点P的坐标,可以求出分别到 两个焦点的距离:
所以 a=√10 , => b^2=a^2-c^2=10-4=6
轨迹方程:y^2/10 + x^2/6=1
例3:平面内两个定点的距离是8,求到两个定点距离和为10的点的轨迹方程
由题意知:c=4, a = 5; 则b^2= 25-16=9
(分母大的在长轴, 即焦点所在轴)
若焦点在x轴:x^2/25+y^2/9=1
若焦点在y轴:y^2/25+x^2/9=1
离心率: e=√(a^2-b^2) / a => c/a 因a>c>0 所以 椭圆离心率:0<e<1
例4:已知椭圆方程4x^2+ky^2=1,焦点在y轴,求k的取值范围
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中,有三个参数a、b、r,即圆心坐标为(a,b),只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定,因此确定圆方程,须三个独立条件,其中圆心坐标是圆的定位条件,半径是圆的定形条件。
X²+Y²=1 ,圆心O(0,0)被称为1单位圆;
x²+y²=r²,圆心O(0,0),半径r;
(x-a)²+(y-b)²=r²,圆心O(a,b),半径r。
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