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有一座椭圆形的围城(准确来说，是一座横截面为椭圆形的直柱体)。这座城可是一件艺术品。它的内部如何如何我不想说，但它的外侧表面上整整一圈都是精美的浮雕和半嵌入式表演露台(我认为表演时它们就是活动的浮雕)。因为城墙很高，游客从地面观看就要仰视，这很累，看到的动的或静的浮雕也会失真。所以，围城的管理者们在围城的外围修建了一圈圆形的观光走廊。走廊的高度与城墙的腰围平齐，这样人们看到的浮雕和露台上的表演就真实很多。小明同学善于思考，他发现，不管走到观光走廊的什么位置，向围城看去，整个围城在他眼中的视角总保持90度。这个发现让他异常兴奋。回到学校，他把这个发现跟数学邵老师说了，邵老师说，我们数学课正好讲到椭圆这一内容，那么，下节课，我就给你和同学们讲一讲这个围城的故事。下面就是邵老师所讲的内容。

(1)首先用数学软件画一个椭圆【步骤如下：画一个半径为r的圆，圆心设为F2(它将成为所画椭圆的一个焦点)。在圆内与点F2处于同一水平线上的某处取点F1(它将成为所画椭圆的另一焦点)。在圆周上取一点C。连接CF1，连接CF2。作CF1的中垂线，与CF2相交于点M。则随着圆周上点C在圆周上运动，点M也将运动，它的运动轨迹就是椭圆。如下图所示。这是一个焦点为F1和F2，长轴位于水平轴上且长轴长2a等于圆的半径r的椭圆。其中的直线DM为椭圆在点M处的切线。我们这样作出的曲线是椭圆的理由很简单：MF1+MF2=MC+MF2=CF2=圆的半径r=定长，即到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆。这是作椭圆的基本方法之一。椭圆上的每一点都是可以用尺规作图法作出来的，把这些点用光滑的曲线连接起来就是椭圆。用数学软件可以做到让点连续运动，从而画出比较精确的椭圆。作椭圆上的点及使用软件画轨迹，同学们应该熟练掌握。我们常说的那种在两个钉子之间系一根绳子用笔绷紧绳子从而画椭圆的方法是一种机械方法。】

(2)把图中CF1、CF2、MF1及切线DF擦掉。这时保留下来的有椭圆及它的两个焦点F1和F2。当然我们还保留下这个圆，它很重要，在以后常会用到。我们称这个圆为椭圆的准圆，它的半径等于椭圆的长轴长2a。【注意，准圆这个名称的定义有些混乱。网上查了一下，有些文章把下面将要推导出的切距圆叫做准圆。我认为这种叫法是不对的。准圆、准线中的“准”是基准、准备的意思。故有了准线可以画椭圆。同样有了准圆也可以画椭圆。而后面所说的切距圆明显是椭圆的副产品，虽然从切距圆也有办法反画出椭圆(后面会给出)】

(3)有了这个椭圆，接下来我们要作一个直角，让它的两条边分别与椭圆相切。然后，移动这个直角，观察直角顶点的运动情况。也就是说，用一个“直角卡尺”把椭圆“卡住“。然后，让”卡尺“保持这种状态并移动。最后我们来证明，直角顶点或直角卡尺顶点的运动轨迹就是一个圆。本文开始时所说的圆形观光走廊就是这么设计出来的。我们甚至可以求出这个圆的半径(后面会讲到)。

(4)既然直角两边都是椭圆的切线，那么显然，我们需要首先学会画椭圆的切线。可以先画出一条切线，然后再想办法画另一条。所以，下面我先教你如何过椭圆上的点画椭圆的切线，这也是很基本的技能，需要掌握(后面还会教你如何从椭圆外一点画椭圆的切线)。如下图所示，在刚才画好的椭圆上随便取一点M。连接F2M并延长，与准圆交于点C(注意，为了方便，我们这里就用与上图一致的字母标识各个点)。连接CF1。取CF1的中点D。作过点D和M的直线DM，则直线DM就是椭圆的切线(下图中红线)，点M为切点。理由也很简单，这里就不阐述了。这一作图过程与前面作椭圆的过程是互逆的。

(5)接下来，以CF2为直径作一个圆(下图中只画了半个圆，浅紫色)，与切线DM交于点P(还有另一交点，这里先不考虑)。【需要说明的是，点M位于直径CF2之上，所以，直线DＭ必定与所作圆相交；又因为切线DM上的点除切点外都在椭圆的外部，所以交点P必在椭圆之外。一个点只有位于椭圆之外，才有可能作出过这个点的椭圆切线，且是两条切线。有了这个说明，我们下面的操作也就可行了。】

(6)接下来，我们从椭圆外的点P作椭圆的切线。从椭圆外一点可以作两条椭圆的切线，我们已经有了一条切线(直线PM)，下面再作另一条切线。前面我们讲的是给定椭圆上的一点作过这点的椭圆切线。下面借助此题，我们讲一讲过椭圆外的点如何作椭圆的切线。作法如下：以点P为圆心，以PF1为半径作圆，与准圆相交于两点，其中一点就是前面出现过的点C，我们不再考虑它，还有另一交点，我们设其为点E【注意，准圆是以点F2为圆心的，所以，我们就要以另一焦点F1与点P的连线为半径作圆；图中所示点P在椭圆之外，故点P到两个焦点的距离之和大于2a，又点P在准圆之内，所以所作的这个圆必定与准圆相交；如果点P在准圆之外，则以点P与准圆内的点F1的连线为半径所作之圆就更是一定与准圆相交了】。我们继续作图。连接点F2(位于椭圆内部)与点E(位于椭圆外部)，线段EF2与椭圆交于点N。连接PN。则PN所在直线就是所要求作的第二条切线。点N为切点。

(7)现在我们已经作出从一点(点P)出发的两条椭圆切线(PM和PN)，也就是说，我们作出了一个角(∠MPN)，如上图所示。下面只需证明∠MPN是直角，就达到了我们的要求。这涉及一个定理：椭圆外任意一点到椭圆所作的两条切线与椭圆的两个焦点构成的视角相等。用上图来说明就是，切线PM与PF1的夹角等于切线PN与PF2的夹角，即图中的∠1=∠2。这个定理的证明不难但写起来有些复杂，这里就不给出了。根据切线PM的作图过程可知∠1=∠3。从而∠2=∠3。再根据作图知∠CPF2是直角。把∠CPF2逆时针转过∠2大小的一个角度后，就得到∠MPN。所以，∠MPN也是直角。最终，我们找到了点P，从它看椭圆，视角为直角。

(8)以上就是作一个把椭圆夹在其中的直角的全过程。可以作出无穷多的这样的直角，这些直角的顶点将构成一条曲线。那么，这条曲线是什么曲线呢？下面，我们就来研究这个问题，具体来说，就是研究点Ｐ的运动轨迹。去掉一些不用的线段，再增加一些辅助线，如下图所示。其中，点O为线段F1F2的中点。因为三角形CPF2是直角三角形，所以，

因为CP=PF1，而CF2=2a(椭圆长轴长)，所以

在三角形F1PF2中，OP为边F1F2上的中线。我们知道，中线与边之间有下面的定理存在：三角形两条边的平方和等于第三边的一半的平方的两倍再加上中线的平方的两倍。于是，在三角形F1PF2中，就有：

因为OF1为椭圆焦距2c的一半，即OF1=c，所以，综合以上两式，得到

再考虑到

所以，由上面两式可以得到：

这说明，点P到点O的距离等于一个常数。所以，点P的运动轨迹是一个圆(下图中蓝色圆)。这个圆叫做切距圆。

所以，我们要作出这个切距圆，只需作一个以F1F2的中点为圆心，以长半轴与短半轴的平方和的平方根为半径的圆即可。这个半径可以如下图所示获得：

下面的动画显示，与椭圆外切的矩形的顶点的轨迹就是这个切距圆。

【注：切距圆这个词我认为应该是切矩圆，即矩形的“矩”而非距离的“距”，因为这个圆是直角顶点生成的，而矩形的内角是直角。这个圆是椭圆外切矩形顶点的轨迹，与距离无关。构成“切矩圆”的这三个字，顺序上体现了从椭圆到圆的过程：椭圆→与椭圆相切的直角→与椭圆相切的矩形，矩形顶点的轨迹圆。】

(9)上面第(1)到(8)条所讲的内容是知道椭圆作它的切矩圆。下面我们简单介绍一下如何从一个已知圆及位于圆内且关于圆心对称的两个点(椭圆的两个焦点)去画出这个椭圆。这是可以办到的，因为a和b的平方差等于c的平方，是定值；a与b的平方和是所给圆的半径的平方，也是定值。所以，a和b也就随之确定。从而椭圆是确定的。

如上图所示，连接PF1和PF2。作∠F1PF2的平分线PP''。以点P为顶点，以PP''为对角线作一直角(图中绿角)。这个直角就是下面动画中的那个运动的直角。那么，这个直角扫过平面后，没有扫到的区域就是一个以椭圆为边界的区域。请看下面的动画，中间白色椭圆区域就是直角的边永远扫不到的地方。

能否设计出一个机械装置来实现上述过程呢？请您思考。小明说他想回家后动手试一试！很好，既动脑，又动手！

本期涉及了准圆的概念，本应该对准圆展开来讲，但本期内容已经很多了，所以放到下期。