两个可能常用到的几何知识（圆与椭圆的方程、求垂直向量）

两个可能常用到的几何知识

圆和椭圆的参数方程
- 圆的参数方程
- - 特殊圆的参数方程【圆心(0,0)，半径R】
  - 一般圆的参数方程【圆心(m,n)，半径R】
- 椭圆的参数方程
- 引例
- - 分析：这个说法是错误的，怎么纠正呢？
  - 化为参数方程
- Unity中的使用
- 参数方程的优点
向量的垂直向量
- 原理：两个向量垂直的点积为0
- Unity用法引例
- 求二维垂直向量
- 求三维垂直向量
原文参考链接

圆和椭圆的参数方程

圆的参数方程

特殊圆的参数方程【圆心(0,0)，半径R】

其参数α的几何意义是圆上动点和圆心连线的旋转角，如下图所示；

一般圆的参数方程【圆心(m,n)，半径R】

其参数α的几何意义仿上例理解；

椭圆的参数方程

其参数ϕ的几何意义是对应的大圆或小圆半径的旋转角∠AOM，也就是椭圆的离心角．不是椭圆上动点和中心连线的旋转角∠AOP；切记！

虽然∠AOM和∠AOP二者不相等，但是很显然这二者也是一一对应的，并且它们的范围都是==[0，2π)==。

引例

已知椭圆的参数方程为

点M在椭圆上，对应参数t= π 3 \frac{π}{3} 3π，点O为原点，则直线OM的斜率为 3 \sqrt 3 3 。

分析：这个说法是错误的，怎么纠正呢？

当t= π 3 \frac{π}{3} 3π时，代入得到 x=2cos( π 3 \frac{π}{3} 3π)=1，y=2sin( π 3 \frac{π}{3} 3π)=2 3 \sqrt 3 3 ，故M(1，2 3 \sqrt 3 3 )，
则k_OM= y − 0 x − 0 \frac{y−0}{x−0} x−0y−0=2 3 \sqrt 3 3 。

化为参数方程

介绍一个容易记忆的方法：
类比：cos²θ+sin²θ=1

当圆为x²+y²=4时，先转换为( x 2 \frac{x}{2} 2x)²+( y 2 \frac{y}{2} 2y)²=1，
cos²θ+sin²θ=1 与 ( x 2 \frac{x}{2} 2x)²+( y 2 \frac{y}{2} 2y)²=1
对应上式，得到 cosθ= x 2 \frac{x}{2} 2x，sinθ= y 2 \frac{y}{2} 2y，故圆的参数方程为

当然，我们还可以这样交叉对应，得到 sinθ= x 2 \frac{x}{2} 2x，cosθ= y 2 \frac{y}{2} 2y，故圆的参数方程还可以为

说明:

由此说明，当我们取的参数不一样时，圆的参数方程是不一样的，即圆的参数方程可能不唯一。两种参数的含义不一定一样。

我们约定俗成的取法是第一种。

参数方程的参数有时候有明确的几何意义，有时候没有。

当圆为 (x−a)²+(y−b)²=R² 时，先转换为( x − a R \frac{x−a}{R} Rx−a)²+( y − b R \frac{y−b}{R} Ry−b)²=1，
对应上式，得到 cosθ= x − a R \frac{x−a}{R} Rx−a，sinθ= y − b R \frac{y−b}{R} Ry−b，故圆的参数方程为
当椭圆为 x 2 a 2 \frac{ x^2}{ a^2} a2x2+ y 2 b 2 \frac{y^2}{b^2} b2y2=1 时，先转化为( x a \frac{x}{a} ax)²+( y b \frac{y}{b} by)²=1，
对应上式得到 cosθ= x a \frac{x}{a} ax，sinθ= y b \frac{y}{b} by，故椭圆的参数方程为

Unity中的使用

Vector3 point;
float m_width = 5.0f;
float number = 20;
float Stage = 360 / number;
List<Vector3> circle = new List<Vector3>();
for (int i = 0; i < number; i++)
{Vector3 temp = new Vector3(point.position.x + m_width * Mathf.Cos(Stage * i), point.position.y + m_width * Mathf.Sin(Stage * i), 0);circle.Add(temp);
}

最终的结果就是：链表对象circle中存储了20个圆上的点。

参数方程的优点

当处理圆或者椭圆上的任意一点到直线的距离的最值时，参数方程就会体现出它巨大的优越性。原因在于：如果是普通方程时，点的坐标形式为(x，y)，转化得到的必然是二元形式的，而如果是参数方程，转化得到的必然是一元形式的，肯定要比二元的简单的多。

向量的垂直向量

原理：两个向量垂直的点积为0

二维状况下，向量(X₁,Y₁)与垂直向量(X₂,Y₂)的点积为0。

即：X₁X₂+Y₁Y₂=0
三维状态下，向量(X₁,Y₁,Z₁)与垂直向量(X₂,Y₂,Z₂)的点积为0。

即：X₁X₂+T₁T₂+Z₁Z₂=0

Unity用法引例

求二维垂直向量

Vector2 dir;
Vector2 verticalDirection = new Vector2(dir.y, -dir.x);

注意：二维状态下，与一个向量垂直的应该是一条线。故结果并不是唯一的。
下面再写几个：

Vector2 verticalDirection_1 = new Vector2(1, -dir.x / dir.y);
Vector2 verticalDirection_2 = new Vector2(-dir.y / dir.x, 1);

求三维垂直向量

注意：三维状态下，与一个向量垂直的应该是一个面。故结果也不是唯一的，比二维状态下情况还要多。
同二维状态，这里我也只写几个：

Vector3 dir;
Vector3 verticalDirection = new Vector3(dir.y, -dir.x, 0);
Vector3 verticalDirection_1 = new Vector3(-_dir.z / _dir.x, 0, 1);
Vector3 verticalDirection_2 = new Vector3(1 , 0 , -dir.x / dir.z);
...

原文参考链接

圆和椭圆的参数方程：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/5891493.html；
二维向量的垂线计算：https://blog.csdn.net/dgtg_tjs/article/details/80507771；
三维向量的垂线计算：https://blog.csdn.net/cheng219101/article/details/79679797；
为什么两个垂直向量的点积为0：https://blog.csdn.net/u014756380/article/details/77901834.