已知三角形三点坐标求角度_细心研磨椭圆焦点三角形,这肯定是最全的解释。...
因为月考赶上运动会,
继国庆之后,
感觉又放了一个小长假。
原本身体是很愿意的,
可是,
刚讲的解析几何突然被中断了,
思想上还真是有点矛盾。
因为,
想了想两天后该讲些什么,
脑中却一片空白了,
突然有了点无所适从的感觉。
所以说,
学习真的需要一个连贯性的思维,
和一个安静的环境。
不过,
今天也真的是有些时间,
想了想,
还是写点什么吧,
就来个椭圆的焦点三角形。
因为很多时候,
圆锥曲线的考题,
都会与焦点有或多或少的联系。
而焦点三角形,
也确实是圆锥曲线中,
一个最为特殊的存在了。
01
什么是焦点三角形
椭圆上任意一点(非长轴端点)与两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
02
焦点三角形周长
因为顶点P总在椭圆上,
所以它一定是满足椭圆定义的。
这样的焦点三角形,
其周长就一定是定值。
03
焦点三角形顶角
显然,
和周长不同的是,
焦点三角形的顶角θ是一个变量。
但是,
它的变化也还是有一点规律可循的:
P从长轴端点向短轴端点运动的过程中,
顶角θ从0增大到它的最大值。
如图所示位置的顶角,
就是最大的了。
此时,
04
焦点三角形面积
说到面积,
当然会想到一些面积的常用公式。
在我的映象中,
平时最常用的面积公式,
其实也并没有太多了:
但作为椭圆中一个特殊的、
焦点三角形的面积,
一定还应该会有其特殊性的吧。
确实,
根据椭圆的定义及余弦定理,
可以导、得出一个非常好记的面积:
其实,
建议你也自己推导并记住它,
毕竟这个公式,
以后可能会经常与它见面的。
其实,
在我的解题经验里,
这个面积公式,
除了可以计算焦点三角形的面积,
还可以有这样的姿态:
原来,
利用面积,
还可以求顶点的坐标呢!
是不是有点太神奇!
05
焦点三角形内心
说到三角形,
当然免不了谈到它的几个心了。
而焦点三角形中,
我觉得还是内心,
才是最为较特殊的。
至于特殊在哪,
你可以先看看下面的结论:
原来,
内心与离心率是有直接关系的。
当然,
如果在焦点三角形中用正弦定理,
也是可以得到离心率的:
所以说,
椭圆的离心率,
除了在基本三角形中有它的几何意义,
能够影响椭圆的扁圆程度,
在焦点三角形中,
也是有它自己的位置的。
最重要的是,
如果已知了焦点三角形的大小,
是可以秒求离心率的。
知道么?
椭圆焦点三角形内心的轨迹,
其实依然是一个椭圆,
只是比原来的,
稍微小了点。
如果你愿意计算,
你还会得到两个椭圆离心率之间的关系:
如果你再耐心点,
会不会发现在我的证明过程中,
求点M坐标时,
并没有用到最好的焦半径公式,
而是用到了切线方程?
其实这个道理,
源于课本中,
对椭圆光学性质的解释。
06
椭圆光学性质
还记不记得教材中,
椭圆的这一组光学性质了呢?
它的意思其实也简单,
就是说:
从椭圆焦点发出的光线,
被椭圆反射后,
反射光线一定是要经过另一个焦点的。
嗯,
就像是动图中那样,
可以一直反射下去,
无止尽的。
反射过程中,
我想到了物理中的光学性质。
对于入射光线与反射光线,
是总有入射角等于反射角的。
于是,
这里便出现了,
角平分线的问题了。
所以说,
联想很重要!
从图中很容易就看出,
焦点三角形的顶角平分线,
其实就是法线了。
而法线,
很显然的,
应该与点P处的切线互相垂直吧!
我就是这样,
求得了顶角平分线方程的。
其实,
与三角形内心相对的,
焦点三角形还有三个旁心。
而这三个旁心的轨迹,
也是非常有意思的。
之所以说有意思,
主要还是因为,
这组结论,
也太漂亮了点吧!
看见了么?
两条焦半径所对的外心I1和I2,
轨迹方程正好是x=±a,
而底边所对的外心I3的轨迹,
却是一个你意料之外的椭圆!
那么你有勇气,
亲自操刀,
证明一下么?
07
焦点三角形重心
我想更让你惊讶的是,
焦点三角形重心的轨迹,
竟然依然是个椭圆!
其实,
也只是你没有想到而已,
因为,
这个结论的证明,
其实真的是再简单不过了,
我只用了一个重心的坐标公式,
就轻易搞定了它。
08
焦点三角形外心
说到外心,
当然也是要想到其轨迹了。
可惜这个没有给你惊喜,
因为外心一定是在y轴上的吧?
那还多想什么呢!
至于外接圆的半径,
一般自然就想到了正弦定理了。
所以外接圆的半径:
而前面说的内切圆,很容易的就可以由周长与面积关系:
关于椭圆的焦点三角形,
今天的讲解,
应该是你见过的,
最为全面的了。
其实,
双曲线的焦点三角形,
它的相关性质,
和椭圆其实基本是一个类型的。
也希望有心的同学,
能够试着用类比的方式,
去进行一些研究。
END
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