1.相等

若两个张量 T = T i j e i e j T = T_{ij}e_ie_j T=Tijeiej和 S = S i j e i e j S = S_{ij}e_ie_j S=Sijeiej相等,即： T = S T = S T=S
则对应分量相等，即：
若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。

2.和、差

两个同阶张量 A = A i j e i e j A = A_{ij}e_ie_j A=Aijeiej与 B = B i j e i e j B = B_{ij}e_ie_j B=Bijeiej之和（或差）是另一个同阶张量 T = T i j e i e j T = T_{ij}e_ie_j T=Tijeiej
则

其分量的关系为：

3.数积

张量 A A A和一个数 λ \lambda λ（或标量函数）相乘得另一同维同阶张量 T T T

其分量的关系为：

4.并积

两个同维不同阶（或同阶）张量 A A A和 B B B的并积 T T T是一个阶数等于 A 、 B A、B A、B阶数之和的高阶张量。
设：

则：

其分量关系为：

注意： A B ≠ B A AB \ne BA AB=BA

5.缩并

若对基张量中的任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。

其分量关系为：

若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果也不同。
列如：

推出：

推出：

即：

6.内积

内积 = = =并积 + + +缩并
例如: A = A i j k e i e j e k A = A_{ijk}e_ie_je_k A=Aijkeiejek 和 B = B l m e l e m B = B_{lm}e_le_m B=Blmelem的一种内积是：

其分量关系为：

7.点积

前张量 A A A的最后基矢量与后张量 B B B的第一基矢量缩并的结果，记为 A ⋅ B A·B A⋅B，是最常见的一种内积。

两个二阶张量的点积相当于矩阵乘积

8.双点积

对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为双点积，共有两种：
并双点积：

串双点积：

9.并矢

把 K K K个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个 K K K阶张量。
+6
矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的顺序不得任意调换。

10.张量乘法运算和结果的阶数

Σ \Sigma Σ表示为阶数的和

个人思考：

这九种运算属于张量中最基本的运算，需要熟练的掌握，个人感觉最主要的还是运算过后阶数的改变要熟练。

张量学习（6）：张量代数相关推荐

数理统计的张量方法1 张量代数1 张量与张量积
数理统计的张量方法1 张量代数1 张量与张量积张量的概念张量积张量的表示这个系列介绍数理统计中的张量方法.在计算机视觉.NLP以及基因组学等领域,数据结构越来越复杂,以至于用矩阵已经没有办法很 ...
张量（五）：张量学习——BGCP
接下来的文章将主要介绍张量在交通领域的实际应用,包括预测.补全等问题.与其他模型相结合,针对具体问题,构建的一系列模型,我这里统称为"张量学习模型".本文主要介绍Bayesian ...
张量学习（7）：张量乘积
目录描述 1.向量的外积 1.1 实例一 1.2 实例二 2.张量内积 3.张量积(直积) 4.Kronecker乘积(Kronecker Product) 5.Hadamard乘积(Hadamard ...
张量学习（9）：主方向与主分量
1.主方向与主分量二阶张量可定义为一种由矢量 a a a到矢量 b b b的线性变换,即: 一般说,矢量 a a a与 b b b并不同向.对于给定的任意二阶张量 T T T能否找到某个矢量 v v ...
张量学习（1）：张量的基本概念
1.张量的四种定义 1.张量是多维数组,这个定义常见于各种人工智能软件. 2.张量是某种几何对象,不会随着坐标系的改变而改变 3.张量是向量和余向量(covector)通过张量积(tensor pro ...
入门1，Pytorch深度学习---张量学习
声明了一个未初始化的矩阵,但在使用前不包含确定的已知值.创建未初始化的矩阵时,当时分配的内存中的任何值都将显示为初始值. 关键词 ===== 程序意思构造一个未初始化的5x3矩阵: x = torc ...
基于低秩张量的高光谱图像重建理论基础-基础知识学习
原文<基于张量低秩稀疏恢复理论的遥感高光谱图像降噪研究> 本文为选择学习的部分章节的节选内容,根据个人学习侧重点,内容有所删减调整. [1]黎波. 基于张量低秩稀疏恢复理论的遥感高光谱图像 ...
张量基础学习（三张量代数运算———上）
经过前面几期博客的学习,我们初步认识了张量的基本概念,一些重要的符号与指标,坐标的变换规律和相应的张量的分量转化规律之后,接下里,将持续学习张量的各种运算法则与规律! 本人励志做最详细的博客撰写,所以 ...
张量基础学习（一概念，求和指标，符号）
欢迎大家来到我的这一个新专栏,本专栏我们将一起学习并探讨一些张量方面的知识,同样,需要一定的线性代数的基础知识铺垫,但肯定是没有量子计算那么深入和复杂,有需要的小伙伴可以点点关注,您的鼓励是我前进的最 ...

张量学习（6）：张量代数