高等数学笔记-苏德矿

第十章曲线积分和曲面积分

第三节点函数积分

一、点函数积分的概念

01 点函数积分的定义

∫abf(x)dx,∬σf(x,y)dσ,∭Vf(x,y,z)dV∫ΓABf(x,y)ds,∫ΓABf(x,y,z)ds,∬Σf(x,y,z)dS\begin{aligned} & \int_{a}^{b}f(x)dx\ \ , \ \ \iint\limits_{\sigma}f(x,y)d\sigma\ \ , \ \ \iiint\limits_{V}f(x,y,z)dV\\ & \int_{\Gamma_{AB}}f(x,y)ds\ \ , \ \ \int_{\Gamma_{AB}}f(x,y,z)ds\ \ , \ \ \iint \limits_{\Sigma}f(x,y,z)dS \end{aligned} ∫abf(x)dx , σ∬f(x,y)dσ , V∭f(x,y,z)dV∫ΓABf(x,y)ds , ∫ΓABf(x,y,z)ds , Σ∬f(x,y,z)dS

积分区域记为 Ω\OmegaΩ，称为形体。积分记为 ∫Ωf(P)dΩ\int \limits_{\Omega}f(P)d\OmegaΩ∫f(P)dΩ，称为点函数的积分。

01 点函数积分的积分区域

以后涉及到 Ω\OmegaΩ ，

如果 Ω\OmegaΩ 指的是曲线，要求分段光滑；

如果 Ω\OmegaΩ 指的是曲面，要求分片光滑；

如果 Ω\OmegaΩ 指的是立体，要求有界闭区域；

如果 Ω\OmegaΩ 指的是 xOyxOyxOy 平面上的区域，要求闭区域。

二、点函数积分的定理和性质

01 点函数积分的物理意义

物理意义：若 Ω\OmegaΩ 的密度函数为 μ=f(P)\mu=f(P)μ=f(P) 连续，则 Ω\OmegaΩ 的质量 M=∫Ωf(P)dΩM=\int \limits_{\Omega}f(P)d\OmegaM=Ω∫f(P)dΩ .

02 可积的必要条件

定理：若 f(P)f(P)f(P) 在有界闭形体 Ω\OmegaΩ 上连续，则 f(P)f(P)f(P) 在 Ω\OmegaΩ 上可积。反之不成立。

03 点函数积分的性质

点函数积分具有二重积分的所有性质。
点函数的积分中值定理：
- 若 f(P)f(P)f(P) 在有界闭形体 Ω\OmegaΩ 上连续，则 ∃P∗∈Ω\exist\ P^*\in\Omega∃ P∗∈Ω，使 ∫Ωf(P)dΩ=f(P∗)⋅Ω\int \limits_{\Omega}f(P)d\Omega=f(P^*)\cdot\OmegaΩ∫f(P)dΩ=f(P∗)⋅Ω .
- 等式右边的 Ω\OmegaΩ 表示 Ω\OmegaΩ 的大小。
利用区域 Ω\OmegaΩ 的对称性，被积函数关于相应变量的奇偶性来简化计算。

三、点函数积分的分类

Ω∈R3\Omega\in\mathrm{R}^3Ω∈R3
- Ω\OmegaΩ 指的是空间曲线或曲面或立体
- 设 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 在有界闭形体 Ω\OmegaΩ 上连续，且 Ω\OmegaΩ 关于 xOyxOyxOy 平面对称，
- 则 Ω=Ω上+Ω下\Omega=\Omega_{上}+\Omega_{下}Ω=Ω上+Ω下
- ∫Ωf(x,y,z)dΩ={0f(x,y,−z)=−f(x,y,z)2∫Ω上f(x,y,z)dΩf(x,y,−z)=f(x,y,z)\int \limits_{\Omega}f(x,y,z)d\Omega= \begin{cases}0 & f(x,y,-z)=-f(x,y,z)\\ 2\int \limits_{\Omega_{上}}f(x,y,z)d\Omega & f(x,y,-z)=f(x,y,z)\end{cases}Ω∫f(x,y,z)dΩ=⎩⎨⎧02Ω上∫f(x,y,z)dΩf(x,y,−z)=−f(x,y,z)f(x,y,−z)=f(x,y,z)
Ω∈R2\Omega\in\mathrm{R}^2Ω∈R2
- Ω\OmegaΩ 指的是平面曲线或平面区域
- 设 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在有界闭形体 Ω\OmegaΩ 上连续，且 Ω\OmegaΩ 关于 xxx 轴对称，
- ∫Ωf(x,y)dΩ={0f(x,−y)=−f(x,y)2∫Ω上f(x,y,z)dΩf(x,−y)=f(x,y)\int \limits_{\Omega}f(x,y)d\Omega= \begin{cases}0 & f(x,-y)=-f(x,y)\\ 2\int \limits_{\Omega_{上}}f(x,y,z)d\Omega & f(x,-y)=f(x,y)\end{cases}Ω∫f(x,y)dΩ=⎩⎨⎧02Ω上∫f(x,y,z)dΩf(x,−y)=−f(x,y)f(x,−y)=f(x,y)

四、点函数积分的微元法

求分布在有界闭形体 Ω\OmegaΩ 上的一个量 QQQ 的值仍用 QQQ 表示，当 Q=∑i=1nΔQiQ=\sum\limits_{i=1}^n \Delta{Q_i}Q=i=1∑nΔQi，即总量等于部分量之和，此时采用微元法求解。

选取 dΩ⊂Ωd\Omega\subset\OmegadΩ⊂Ω，dΩd\OmegadΩ 的大小仍用 dΩd\OmegadΩ 表示，把 dΩd\OmegadΩ 上所求的量 ΔQ\Delta QΔQ 表示为：(ΔQ≈)f(P)dΩ=dQ,P∈Ω(\Delta Q\approx)\ f(P)d\Omega=dQ \ , \ P\in\Omega(ΔQ≈) f(P)dΩ=dQ , P∈Ω

Q=∫Ωf(P)dΩQ=\int_{\Omega}f(P)d\OmegaQ=∫Ωf(P)dΩ 称为微元法。

五、点函数积分在物理上的应用

01 质心（重心）

由物理知识，设 P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)P_2(x_2,y_2)P2(x2,y2)，… ，Pi(xi,yi)P_i(x_i,y_i)Pi(xi,yi)，… ，Pn(xn,yn)P_n(x_n,y_n)Pn(xn,yn) 为平面上的 nnn 个质点，

质量分别为 m1m_1m1，m2m_2m2，… ，mim_imi，… ，mnm_nmn 。

设该质点系的重心为 (x‾,y‾)(\overline{x},\overline{y})(x,y)，则
x‾=x1m1+x2m2+⋯+ximi+⋯+xnmnm1+m2+⋯+mi+⋯+mn=∑i=1nximi∑i=1nmiy‾=y1m1+y2m2+⋯+yimi+⋯+ynmnm1+m2+⋯+mi+⋯+mn=∑i=1nyimi∑i=1nmi\begin{aligned} & \overline{x}=\frac{x_1m_1+x_2m_2+\cdots+x_im_i+\cdots+x_nm_n}{m_1+m_2+\cdots+m_i+\cdots+m_n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n {x_im_i}}{\sum\limits_{i=1}^n {m_i}}\\ & \overline{y}=\frac{y_1m_1+y_2m_2+\cdots+y_im_i+\cdots+y_nm_n}{m_1+m_2+\cdots+m_i+\cdots+m_n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n {y_im_i}}{\sum\limits_{i=1}^n {m_i}} \end{aligned} x=m1+m2+⋯+mi+⋯+mnx1m1+x2m2+⋯+ximi+⋯+xnmn=i=1∑nmii=1∑nximiy=m1+m2+⋯+mi+⋯+mny1m1+y2m2+⋯+yimi+⋯+ynmn=i=1∑nmii=1∑nyimi

若 Ω∈R3\Omega\in\mathrm{R}^3Ω∈R3，Ω\OmegaΩ 的密度函数为 μ=f(x,y,z)\mu=f(x,y,z)μ=f(x,y,z) 连续，求 Ω\OmegaΩ 的重心坐标 (x‾,y‾,z‾)(\overline{x},\overline{y},\overline{z})(x,y,z) 。
- 分割：
  
  将 Ω\OmegaΩ 分成 nnn 个小的形体 ΔΩ1\Delta\Omega_1ΔΩ1，ΔΩ2\Delta\Omega_2ΔΩ2，… ，ΔΩi\Delta\Omega_iΔΩi，… ，ΔΩn\Delta\Omega_nΔΩn 。
  
  ΔΩi\Delta\Omega_iΔΩi 的大小仍用 ΔΩi\Delta\Omega_iΔΩi 表示，设 λi\lambda_iλi 是 ΔΩi\Delta\Omega_iΔΩi 的直径，λ=max⁡1⩽i⩽nλi\lambda=\max \limits_{1 \leqslant i \leqslant n}\lambda_{i}λ=1⩽i⩽nmaxλi 。
- 取近似
  
  ∀Pi∈(xi,yi,zi)∈ΔΩi\forall\ P_i\in(x_i,y_i,z_i)\in\Delta\Omega_i∀ Pi∈(xi,yi,zi)∈ΔΩi，把 ΔΩi\Delta\Omega_iΔΩi 看成在 PiP_iPi 点，
  
  它们质量近似看成 f(xi,yi,zi)ΔΩif(x_i,y_i,z_i)\Delta\Omega_if(xi,yi,zi)ΔΩi，i=1,2,⋯,ni=1,2,\cdots,ni=1,2,⋯,n
  
  x‾=∑i=1nxif(xi,yi,zi)ΔΩi∑i=1nf(xi,yi,zi)ΔΩi\displaystyle{ \overline{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n {x_i}f(x_i,y_i,z_i)\Delta\Omega_i}{\sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i)\Delta\Omega_i} }%x=i=1∑nf(xi,yi,zi)ΔΩii=1∑nxif(xi,yi,zi)ΔΩi
- 取极限
  
  x‾=lim⁡λ→0∑i=1nxif(xi,yi,zi)ΔΩi∑i=1nf(xi,yi,zi)ΔΩi=∫Ωxf(x,y,z)dΩ∫Ωf(x,y,z)dΩ=∫Ωxf(x,y,z)dΩM\displaystyle{ \overline{x}=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0}\frac{\sum\limits_{i=1}^n {x_i}f(x_i,y_i,z_i)\Delta\Omega_i}{\sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i)\Delta\Omega_i}= \frac{\int_{\Omega}{x}f(x,y,z)d\Omega}{\int_{\Omega} f(x,y,z)d\Omega}= \frac{\int_{\Omega}{x}f(x,y,z)d\Omega}{M} }%x=λ→0limi=1∑nf(xi,yi,zi)ΔΩii=1∑nxif(xi,yi,zi)ΔΩi=∫Ωf(x,y,z)dΩ∫Ωxf(x,y,z)dΩ=M∫Ωxf(x,y,z)dΩ
- 同理，
  
  y‾=∫Ωyf(x,y,z)dΩM,z‾=∫Ωzf(x,y,z)dΩM\displaystyle{ \overline{y}=\frac{\int_{\Omega}{y}f(x,y,z)d\Omega}{M} \ \ ,\ \ \overline{z}=\frac{\int_{\Omega}{z}f(x,y,z)d\Omega}{M} }%y=M∫Ωyf(x,y,z)dΩ , z=M∫Ωzf(x,y,z)dΩ
- 特别地，
  
  密度 f(x,y,z)=μ0f(x,y,z)=\mu_0f(x,y,z)=μ0 常数，此时重心称为形心。
- 此时，
  
  x‾=∫ΩxdΩ∫ΩdΩ=∫ΩxdΩΩ\displaystyle{ \overline{x}=\frac{\int_{\Omega}x\ d\Omega}{\int_{\Omega}d\Omega}=\frac{\int_{\Omega}x\ d\Omega}{\Omega} }%x=∫ΩdΩ∫Ωx dΩ=Ω∫Ωx dΩ，y‾=∫ΩydΩΩ\displaystyle{ \overline{y}=\frac{\int_{\Omega}y\ d\Omega}{\Omega} }%y=Ω∫Ωy dΩ，z‾=∫ΩzdΩΩ\displaystyle{ \overline{z}=\frac{\int_{\Omega}z\ d\Omega}{\Omega} }%z=Ω∫Ωz dΩ
若 Ω∈R2\Omega\in\mathrm{R}^2Ω∈R2，Ω\OmegaΩ 的密度函数为 μ=f(x,y)\mu=f(x,y)μ=f(x,y) 连续，求 Ω\OmegaΩ 的重心坐标 (x‾,y‾)(\overline{x},\overline{y})(x,y) 。
- x‾=∫Ωxf(x,y)dΩ∫Ωf(x,y)dΩ=∫Ωxf(x,y)dΩM\displaystyle{ \overline{x}=\frac{\int_{\Omega}xf(x,y)d\Omega}{\int_{\Omega}f(x,y)d\Omega}=\frac{\int_{\Omega}xf(x,y)d\Omega}{M} }%x=∫Ωf(x,y)dΩ∫Ωxf(x,y)dΩ=M∫Ωxf(x,y)dΩ，y‾=∫Ωyf(x,y)dΩM\displaystyle{ \overline{y}=\frac{\int_{\Omega}yf(x,y)d\Omega}{M} }%y=M∫Ωyf(x,y)dΩ
- 特别地，f(x,y)=μ0(常数)f(x,y)=\mu_0\ \ (常数)f(x,y)=μ0 (常数)
  
  x‾=∫ΩxdΩ∫ΩdΩ=∫ΩxdΩΩ\displaystyle{ \overline{x}=\frac{\int_{\Omega}xd\Omega}{\int_{\Omega}d\Omega}=\frac{\int_{\Omega}xd\Omega}{\Omega} }%x=∫ΩdΩ∫ΩxdΩ=Ω∫ΩxdΩ
  
  y‾=∫ΩydΩ∫ΩdΩ=∫ΩydΩΩ\displaystyle{ \overline{y}=\frac{\int_{\Omega}yd\Omega}{\int_{\Omega}d\Omega}=\frac{\int_{\Omega}yd\Omega}{\Omega} }%y=∫ΩdΩ∫ΩydΩ=Ω∫ΩydΩ
若 Ω=[a,b]⊂R\Omega=[a,b]\subset\mathrm{R}Ω=[a,b]⊂R，Ω\OmegaΩ 的密度函数为 μ=f(x)\mu=f(x)μ=f(x) 连续，求 Ω\OmegaΩ 的重心坐标 x‾\overline{x}x 。
- 求 Ω\OmegaΩ 的重心
  
  x‾=∫abxf(x)dx∫abf(x)dx=∫abxf(x)dxM\displaystyle{ \overline{x}=\frac{\int_{a}^{b}xf(x)dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx}=\frac{\int_{a}^{b}xf(x)dx}{M} }%x=∫abf(x)dx∫abxf(x)dx=M∫abxf(x)dx

02 转动惯量

设质点 AAA 的质量为 MMM，LLL 为一个定直线，AAA 到 LLL 的距离为 rrr，则 AAA 对 LLL 的转动惯量记为 ILI_LIL，则 IL=mr2I_L=mr^2IL=mr2 。

01 Ω∈R3\Omega\in\mathrm{R}^3Ω∈R3，μ=f(x,y,z)\mu=f(x,y,z)μ=f(x,y,z) 连续，求 Ω\OmegaΩ 对直线 LLL 的转动惯量 ILI_LIL 。

分析：有所求的转动惯量 ILI_LIL 分布在 Ω\OmegaΩ 上（总量等于部分量之和）

(1) 选取 dΩ⊂Ωd\Omega\subset\OmegadΩ⊂Ω，dΩd\OmegadΩ 对 LLL 的转动惯量设为 ΔIL\Delta I_LΔIL，∀P(x,y,z)∈dΩ\forall\ P(x,y,z)\in d\Omega∀ P(x,y,z)∈dΩ，

质量 (ΔM≈)f(x,y,z)dΩ=dM(\Delta M\approx)\ f(x,y,z)d\Omega=dM(ΔM≈) f(x,y,z)dΩ=dM ⇒\Rightarrow⇒ (ΔM≈)d2(P,L)⋅f(x,y,z)dΩ=dIL(\Delta M\approx)\ d^2(P,L)\cdot f(x,y,z)d\Omega=dI_L(ΔM≈) d2(P,L)⋅f(x,y,z)dΩ=dIL

公式怎么记？

(2) 第二步
IL=∫Ωd2(P,L)⋅f(x,y,z)dΩIz=∫Ω(x2+y2)⋅f(x,y,z)dΩIy=∫Ω(y2+z2)⋅f(x,y,z)dΩIx=∫Ω(z2+x2)⋅f(x,y,z)dΩ\begin{aligned} & I_L=\int_{\Omega}d^2(P,L)\cdot f(x,y,z)d\Omega\\ & I_z=\int_{\Omega}(x^2+y^2)\cdot f(x,y,z)d\Omega\\ & I_y=\int_{\Omega}(y^2+z^2)\cdot f(x,y,z)d\Omega\\ & I_x=\int_{\Omega}(z^2+x^2)\cdot f(x,y,z)d\Omega \end{aligned} IL=∫Ωd2(P,L)⋅f(x,y,z)dΩIz=∫Ω(x2+y2)⋅f(x,y,z)dΩIy=∫Ω(y2+z2)⋅f(x,y,z)dΩIx=∫Ω(z2+x2)⋅f(x,y,z)dΩ
02 Ω∈R3\Omega\in\mathrm{R}^3Ω∈R3，μ=f(x,y)\mu=f(x,y)μ=f(x,y) 连续，求 Ω\OmegaΩ 对直线 LLL 的转动惯量 ILI_LIL ，则

IL=∫Ωd2(P,L)⋅f(x,y)dΩI_L=\int_{\Omega}d^2(P,L)\cdot f(x,y)d\OmegaIL=∫Ωd2(P,L)⋅f(x,y)dΩ
IL=∫Ωd2(P,L)⋅f(x,y)dΩIx=∫Ωy2⋅f(x,y)dΩIy=∫Ωx2⋅f(x,y)dΩIz=∫Ω(x2+y2)⋅f(x,y)dΩ\begin{aligned} & I_L=\int_{\Omega}d^2(P,L)\cdot f(x,y)d\Omega\\ & I_x=\int_{\Omega}y^2\cdot f(x,y)d\Omega\\ & I_y=\int_{\Omega}x^2\cdot f(x,y)d\Omega\\ & I_z=\int_{\Omega}(x^2+y^2)\cdot f(x,y)d\Omega \end{aligned} IL=∫Ωd2(P,L)⋅f(x,y)dΩIx=∫Ωy2⋅f(x,y)dΩIy=∫Ωx2⋅f(x,y)dΩIz=∫Ω(x2+y2)⋅f(x,y)dΩ

03 引力

设质点 AAA 的质量为 m1m_1m1，质点 BBB 的质量为 m2m_2m2，求 A,BA\ , \ BA , B 两点间的引力 F⃗\vec{F}F 的大小，
∣F⃗∣=km1m2r2,r=∣AB∣|\vec{F}|=k\frac{m_1m_2}{r^2} \ \ , \ \ r=|AB| ∣F∣=kr2m1m2 , r=∣AB∣

01 Ω∈R3\Omega\in\mathrm{R}^3Ω∈R3，μ=f(x,y,z)\mu=f(x,y,z)μ=f(x,y,z) 连续，有一个质点 A(x0,y0,z0)A(x_0,y_0,z_0)A(x0,y0,z0)，质量为 mmm，求 Ω\OmegaΩ 对质点 AAA 的引力 F⃗\vec{F}F 。

分析：所求的力 F⃗\vec{F}F 分布在 Ω\OmegaΩ 上（总量等于部分量之和）

(1) 选取 ∀dΩ⊂Ω\forall\ d\Omega\subset\Omega∀ dΩ⊂Ω，大小记为 dΩd\OmegadΩ， dΩd\OmegadΩ 对 AAA 的引力设为 ΔF⃗\Delta \vec{F}ΔF

∀P(x,y,z)∈dΩ\forall\ P(x,y,z)\in d\Omega∀ P(x,y,z)∈dΩ，把 dΩd\OmegadΩ 看成 PPP 点质量 dM=f(x,y,z)dΩdM=f(x,y,z)d\OmegadM=f(x,y,z)dΩ，

∣dF⃗∣=k⋅mf(x,y,z)dΩr2\displaystyle{ |d\vec{F}|=k\cdot\frac{mf(x,y,z)d\Omega}{r^2} }%∣dF∣=k⋅r2mf(x,y,z)dΩ，r=∣AP→∣=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2r=|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}r=∣AP∣=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2

dF⃗∥AP→d\vec{F}\parallel\overrightarrow{AP}dF∥AP 且方向一致 ⇒\Rightarrow⇒ dF0⃗=AP0→d\vec{F^0}=\overrightarrow{AP^0}dF0=AP0

AP→=(x−x0,y−y0,z−z0)\overrightarrow{AP}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)AP=(x−x0,y−y0,z−z0)

AP0→=(x−x0r,y−y0r,z−z0r)=x−x0r⋅i⃗+y−y0r⋅j⃗+z−z0r⋅k⃗\displaystyle{ \overrightarrow{AP^0}=(\frac{x-x_0}{r},\frac{y-y_0}{r},\frac{z-z_0}{r})=\frac{x-x_0}{r}\cdot\vec{i}+\frac{y-y_0}{r}\cdot\vec{j}+\frac{z-z_0}{r}\cdot\vec{k} }%AP0=(rx−x0,ry−y0,rz−z0)=rx−x0⋅i+ry−y0⋅j+rz−z0⋅k

于是，
dF⃗=∣dF⃗∣⋅dF0⃗=km⋅(x−x0)f(x,y,z)dΩr3⋅i⃗+km⋅(y−y0)f(x,y,z)dΩr3⋅j⃗+km⋅(z−z0)f(x,y,z)dΩr3⋅k⃗,P∈Ωd\vec{F}=|d\vec{F}|\cdot d\vec{F^0}=km\cdot\frac{(x-x_0)f(x,y,z)d\Omega}{r^3}\cdot\vec{i}+ km\cdot\frac{(y-y_0)f(x,y,z)d\Omega}{r^3}\cdot\vec{j}+ km\cdot\frac{(z-z_0)f(x,y,z)d\Omega}{r^3}\cdot\vec{k}\ \ ,\ \ P\in\Omega dF=∣dF∣⋅dF0=km⋅r3(x−x0)f(x,y,z)dΩ⋅i+km⋅r3(y−y0)f(x,y,z)dΩ⋅j+km⋅r3(z−z0)f(x,y,z)dΩ⋅k , P∈Ω

F=GMmr2,r=∣AB∣F=G\frac{Mm}{r^2} \ \ , \ \ r=|AB| F=Gr2Mm , r=∣AB∣