求三点共圆求圆心半径及其推导(三角形外心)

文章目录

问题引入
- 问题分析
公式推导
代码实现
例题
高维情况
- 三维三角形外心
- n维度三角形外心

问题引入

给定二维平面上三个不共线的点 A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)A(x_0,y_0),B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2), 求出他们形成的圆的圆心和半径。

问题分析

计算几何问题常用数形结合解决，不妨设圆心 O(x,y)O(x,y)O(x,y)，则满足三个点到圆心的距离相同。我们可以用两个等价方程来描述：

(x−x0)2+(y−y0)2=(x−x1)2+(y−y1)2(x−x0)2+(y−y0)2=(x−x2)2+(y−y2)2(1)(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=(x-x_1)^2+(y-y_1)^2\\\\(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2\tag1(x−x0)2+(y−y0)2=(x−x1)2+(y−y1)2(x−x0)2+(y−y0)2=(x−x2)2+(y−y2)2(1)

现在转换为两个方程解两个未知数 x,yx,yx,y 的问题。上式化简后可得两个线性方程，使用克拉默法则可以容易解出答案。

公式推导

对公式 (1)(1)(1) 分别移项展开消去二次项，得到：

2(x1−x0)x+2(y1−y0)y=x12−x02+y12−y022(x2−x0)x+2(y2−y0)y=x22−x02+y22−y02(2)2(x_1-x_0)x+2(y_1-y_0)y=x_1^2-x_0^2+y_1^2-y_0^2\\\\2(x_2-x_0)x+2(y_2-y_0)y=x_2^2-x_0^2+y_2^2-y_0^2\tag22(x1−x0)x+2(y1−y0)y=x12−x02+y12−y022(x2−x0)x+2(y2−y0)y=x22−x02+y22−y02(2)

如此得到一组二元一次线性方程则，方程有解充要条件是系数矩阵行满秩，容易发现无解当且仅当三点共线，即行列式(同时也是三点形成两个向量的叉积)为0，即

(x1−x0)×(y2−y0)−(x2−x0)×(y1−y0)=0(3)(x_1-x_0)\times(y_2-y_0)-(x_2-x_0)\times(y_1-y_0)=0\tag3(x1−x0)×(y2−y0)−(x2−x0)×(y1−y0)=0(3)

其他情况下均有解。方便起见以a,b,c,d,e,f,g来代替原系数，即：

ax+by=cdx+ey=f(4)ax+by=c\\\\dx+ey=f\tag4ax+by=cdx+ey=f(4)

其中：

a=2(x1−x0)b=2(y1−y0)c=x12−x02+y12−y02d=2(x2−x0)e=2(y2−y0)f=x22−x02+y22−y02(5)a=2(x_1-x_0)\\\\b=2(y_1-y_0)\\\\c=x_1^2-x_0^2+y_1^2-y_0^2\\\\d=2(x_2-x_0)\\\\e=2(y_2-y_0)\\\\f=x_2^2-x_0^2+y_2^2-y_0^2\tag5a=2(x1−x0)b=2(y1−y0)c=x12−x02+y12−y02d=2(x2−x0)e=2(y2−y0)f=x22−x02+y22−y02(5)

在有解情况下，由克拉默法则可得

x=DxD=ce−fbae−dbx = \frac{D_x}{D} = \frac{ce-fb}{ae-db}x=DDx=ae−dbce−fb
y=DyD=af−dcae−bd(6)y = \frac{D_y}{D} = \frac{af-dc}{ae-bd}\tag6y=DDy=ae−bdaf−dc(6)

于是可在 O(1)O(1)O(1) 内求出圆心，从而计算可得半径。

代码实现

node findO(const node &p,const node &q,const node &r){//input should be nonlineardouble a = 2 * (p.x - q.x);double b = 2 * (p.y - q.y);double c = p.x * p.x + p.y * p.y - q.x * q.x - q.y * q.y;double d = 2 * (p.x - r.x);double e = 2 * (p.y - r.y);double f = p.x * p.x + p.y * p.y - r.x * r.x - r.y * r.y;double g = a*e-b*d;return {(c*e-f*b)/g,(a*f-d*c)/g};
}

例题

Geometry Problem
其实本题并不是求圆心模板题，但是考虑到本题去掉思维部分可以被视为2-D版本三点共圆模板题，而且模板题确实难找，故当作模板题放在此处。

高维情况

三维三角形外心

给定三维空间上三个不共线的点A(x0,y0,z0)A(x_0,y_0,z_0)A(x0,y0,z0) , B(x1,y1,z1)B(x_1,y_1,z_1)B(x1,y1,z1) , C(x2,y2,z2)C(x_2,y_2,z_2)C(x2,y2,z2) , 求出他们形成的圆的圆心和半径。

依据数形结合思路，仍要先把几何问题转化为代数问题：
R=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=(x−x1)2+(y−y1)2+(z−z1)2=(x−x2)2+(y−y2)2+(z−z2)2R = (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\\\\\ \ \ \ = (x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2\\\\\ \ \ = (x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2R=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2 =(x−x1)2+(y−y1)2+(z−z1)2 =(x−x2)2+(y−y2)2+(z−z2)2

其中 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) 为圆心坐标，于是得到三个未知数两个方程。要求解至少还需要一个方程。但是三个点可以确定一张平面，可以通过叉积得到法向量，构造平面方程，如此则转化为三元一次线性方程组，且方程系数比较容易求出。容易利用克拉默法则求三阶行列式分别求出 x,y,zx,y,zx,y,z 的数值。

n维度三角形外心

给定n维空间上三个不共线的点A(x0,y0,z0,...)A(x_0,y_0,z_0,...)A(x0,y0,z0,...) , B(x1,y1,z1,...)B(x_1,y_1,z_1,...)B(x1,y1,z1,...) , C(x2,y2,z2,...)C(x_2,y_2,z_2,...)C(x2,y2,z2,...) , 求出他们形成的圆的圆心和半径。

类推处理二维和三维情况下的方案，设圆心为 O(x,y,z,...)O(x,y,z,...)O(x,y,z,...)。由等距性质得到两个线性方程。在n维空间下，表征一个二维平面平面，需要n-2个线性方程。于是综合上述两组方程得到n元一次线性方程组，高斯消元可以 O(n3)O(n^3)O(n3) 处理得到方程的解。