趣题:三角形中的六点共圆
下面这个有趣的问题来自IMO 2008第一题,题目给出的结论非常美妙。
给定一个锐角三角形△ABC,垂心为H。Ma、Mb、Mc分别为三条边的中点。以Ma为圆心,过点H的圆与线段BC相交于点A1、A2;类似地,以Mb、Mc为圆心,过点H的圆与三角形交于B1、B2、C1、C2。求证,A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆。
首先注意到,图中三角形的三条垂线正好穿过了圆和圆之间的公共弦。我们可以很轻易地证明这一点。只需注意到线段MaMb是三角形的中位线,它平行于AB,我们立即得到MaMb⊥HC;而过两圆交点并垂直于连心线的正好就是两圆的公共弦,因此圆Ma和圆Mb的公共弦在HC上。对于其余两对圆有同样的结论。由于C在圆Ma和圆Mb的公共弦的延长线上,因此C到两圆的切线一样长。假设这个长度为t。另外,把圆Ma和圆Mb的半径长分别记作Ra、Rb。观察两个蓝色的直角三角形,显然有(AC/2)^2 - (Rb)^2 = t^2 = (BC/2)^2 - (Ra)^2。
另一方面,如果题目中的六个点共圆,圆心一定在A1A2、B1B2、C1C2的中垂线的交点上(实际上也就是△ABC的外心)。假设这个点为O,它到Ma、Mb的距离分别为Sa、Sb。观察两个绿色的直角三角形,显然有(AC/2)^2 + (Sb)^2 = (OC)^2 = (BC/2)^2 + (Sa)^2。两式相减,有(Rb)^2 + (Sb)^2 = (Ra)^2 + (Sa)^2,应用到△OMaA1、△OMaA2、△OMbB1、△OMbB2四个直角三角形上,立即可以看到点O到A1、A2、B1、B2的距离相等,这四个点共圆。
同理,B1、B2、C1、C2也共圆,因此这六个点都在同一个圆上。
参考资料:http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CirclesThroughOrthocenter.shtml
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