给定两个点的坐标和一个半径，求能组成的圆的圆心坐标

中文背景：

给定两个点坐标分别为(x1, y1), (x2, y2)和半径r，求出圆心的坐标(a, b)。

英文背景：

Given the coordinates of two points (x1, y1), (x2, y2) and radius r, find the coordinates of the center of the circle (a, b).

解法：

我们在高中学过圆的标准方程，圆心坐标为(a, b)，半径为r。

当两点间的距离大于2r的时候，无法形成圆，

当两点间的距离等于2r的时候，可以形成一个圆，

当两点间的距离小于2r的时候，可以形成两个对称圆。

我们首先讨论可以形成两个圆的情况：

此时两点间的距离小于两倍的半径，

因此由题目中给出的条件，我们可以列出以下方程：

展开以后我们可以得到

我们将两式相减，可以得到

此时进行分类讨论，

当 x1 = x2 时：

我们可以想象得到，此时两点同时位于一条与y轴平行的线上，我们可以直接得到圆心的y坐标，即b = (y1 + y2) / 2，然后我们计算圆心的x坐标，如图。

由此我们可以计算出a的坐标

即圆心坐标为

HINT：

当x1 = x2 且y1 = y2时，两点重合，能组成无数的圆，

但是该算法只返回两点重合处正左方和正右方的一组对称圆

当 x1 ≠ x2 时：

然后我们可以得到a的表达式为

此时我们假设，。

那么我们可以将a的表达式化简为

然后我们把a代入到中，展开并化简后可以得到一个关于b的一元二次方程，即

将其转化为一般一元二次方程的形式，即，那么

可以解得圆心的y坐标，

即圆心坐标为。

只能组成一个圆时：

此时两点间的距离等于两倍的半径，

和能组成两个圆的情况一样，只是组成的两个圆重合在一起

无需多加讨论

无法组成圆时：

此时两点间的距离大于两倍的半径，

遇到这种情况，可以先判断两点间的距离，然后直接跳过即可

源代码

// Declare a point on the Euclidean plane.
typedef struct _point
{double x;double y;
}Point;Point TwoPointsCircleCenter(Point a, Point b, double r, int option)
{/*** If two points and a radius can form a circle,* then they can form a pair of symmetric circles.* Thus, I use 'option' to indicate which circle to return.*/Point center;if(a.x <= b.x + eps && a.x >= b.x - eps)// a.x == b.x in double format{center.y = (a.y + b.y) / 2.0;if(option == 0){center.x = a.x - sqrt(r * r - (a.y - b.y) * (a.y - b.y) / 4.0);}else{center.x = a.x + sqrt(r * r - (a.y - b.y) * (a.y - b.y) / 4.0);}return center;}double c1 = (b.x * b.x - a.x * a.x + b.y * b.y - a.y * a.y) / (2 * (b.x - a.x));  double c2 = (b.y - a.y) / (b.x - a.x);double A = (c2 * c2 + 1);  double B = (2 * a.x * c2 - 2 * c1 * c2 - 2 * a.y);  double C = a.x * a.x - 2 * a.x * c1 + c1 * c1 + a.y * a.y - r * r;  if(option == 0){center.y = (-B - sqrt(B * B - 4 * A * C)) / (2 * A);}else{center.y = (-B + sqrt(B * B - 4 * A * C)) / (2 * A);}center.x = c1 - c2 * center.y;return center;
}

Reference：

对某不知名大佬的博客进行了完善和补充

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