CSPS 2019 Day2 T1 Emiya 家今天的饭（容斥 + 计数 dp）

Description

给定一个 n×mn \times mn×m 的矩阵，每一行最多选一个数，每一列可以选若干个数，但是每一列选的数不能超总数的一半。求有多少个不同的方案数。

Solution

容斥 + 计数 dp。ans=ans =ans= 全部的方案数 −-− 超过 ⌊k2⌋\lfloor \frac{k}{2 }\rfloor⌊2k⌋ 的方案数。

令 sumisum_isumi 为
sumi=∑j=1mai,jsum_i = \sum_{j=1}^m a_{i,j} sumi=j=1∑mai,j
全部的方案数即为
∏i=1n(sumi+1)−1\prod_{i=1}^n (sum_i + 1) - 1 i=1∏n(sumi+1)−1
用计数 dp 求超过 ⌊k2⌋\lfloor \frac{k}{2 }\rfloor⌊2k⌋ 的方案数。枚举一个列，令 fi,j,kf_{i,j,k}fi,j,k 为在前 iii 行中，枚举的列选了 jjj 个，其他列选了 kkk 个的方案数。转移为

fi,j,k=fi−1,j,k+fi−1,j−1,k×ai,j+fi−1,j,k−1×(sumi−ai,j)f_{i,j,k} = f_{i - 1, j, k} + f_{i - 1, j - 1, k} \times a_{i,j} + f_{i - 1, j, k - 1} \times (sum_i - a_{i,j}) fi,j,k=fi−1,j,k+fi−1,j−1,k×ai,j+fi−1,j,k−1×(sumi−ai,j)
超过 ⌊k2⌋\lfloor \frac{k}{2 }\rfloor⌊2k⌋ 的方案数为
∑j>kfn,j,k\sum_{j>k} f_{n,j,k} j>k∑fn,j,k
如何优化？j,kj,kj,k 两维换成 j−kj - kj−k。为什么？每一层转移中 j−kj - kj−k 不相同，统计答案时只计算了 j−k>0j - k > 0j−k>0 的部分。

枚举一个列，令 fi,kf_{i,k}fi,k 为在前 iii 行中，枚举的列选了比其他列多选了 kkk 个的方案数。转移为
fi,k=fi−1,k+fi−1,k−1×ai,k+fi−1,k+1×(sumi−ai,k)f_{i,k} = f_{i-1,k} + f_{i-1,k-1} \times a_{i,k} + f_{i-1,k+1} \times (sum_i - a_{i,k}) fi,k=fi−1,k+fi−1,k−1×ai,k+fi−1,k+1×(sumi−ai,k)
综上所述
ans=∏i=1n(sumi+1)−1−∑i=1nfn,ians = \prod_{i=1}^n (sum_i + 1) - 1 - \sum_{i=1}^n f_{n,i} ans=i=1∏n(sumi+1)−1−i=1∑nfn,i

细节问题如初值，对负值增加一个偏移量，详见代码。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100 + 5, M = 2000 + 5, p = 998244353;
ll all = 1, ans, f[N][N + N], a[N][M], sum[N];
int n, m;
int main(){scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++)scanf("%lld", &a[i][j]), sum[i] = (sum[i] + a[i][j]) % p;all = all * (sum[i] + 1) % p;}for (int j = 1; j <= m; j++) {f[0][N] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++)for (int k = -n + N; k <= n + N; k++)f[i][k] = (f[i - 1][k] + f[i - 1][k - 1] * a[i][j] % p + f[i - 1][k + 1] * (sum[i] - a[i][j]) % p) % p;for (int i = 1; i <= n; i++) ans = (ans + f[n][i + N]) % p;}printf("%lld\n", (all - ans - 1 + p) % p);return 0;
}