引言

本科毕业以后越觉数学的奇妙，想弥补一下数学知识的证明，做点记录，方便后续查阅。

1.知识铺垫：数列极限的性质

(1)极限的唯一性

定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一
(本例摘自参考资料[1]p38 【第二章第列极限 §2\S2§2数列极限】)
【证明】【证明】【证明】
技巧：给出两个极限想到进行合并，可能会用到三角不等式

证假设{xn}\{x_n\}{xn}有极限aaa与bbb,根据极限的定义，∀ε>0,∃N1,∀n>N1:∣xn−a∣<ε2;且∃N2,∀n>N2:∣xn−b∣<ε2\forall \varepsilon>0,\exist N_1,\forall n>N_1: |x_n-a|<\frac{\varepsilon}{2};且\exist N_2,\forall n>N_2:|x_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}∀ε>0,∃N1,∀n>N1:∣xn−a∣<2ε;且∃N2,∀n>N2:∣xn−b∣<2ε
取N=max⁡{N1,N2}N=\max{\{N1,N2\}}N=max{N1,N2},利用三角不等式，则∀n>N\forall n>N∀n>N:
∣a−b∣=∣a−xn+xn−b∣≤∣xn−a∣+∣xn−b∣<ε2+ε2=ε|a-b|=|a-x_n+x_n-b|\le |x_n-a|+|x_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon∣a−b∣=∣a−xn+xn−b∣≤∣xn−a∣+∣xn−b∣<2ε+2ε=ε由ε\varepsilonε可以任意接近于0，即知a=ba=ba=b
证毕

(2)数列的有界性

对于数列{xn}\{x_n\}{xn},如果存在实数MMM,使数列的所有的项都满足
xn≤M,n=1,2,3,…x_n≤M,n=1,2,3,…xn≤M,n=1,2,3,…则称MMM是数列{xn}\{x_n\}{xn}的上界。如果存在实数mmm,使数列的所有的项都满足
m≤xn,n=1,2,3,…m≤x_n,n=1,2,3,…m≤xn,n=1,2,3,…则称mmm是数列{xn}\{x_n\}{xn}的下界。一个数列{xn}\{x_n\}{xn},若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{xn}\{x_n\}{xn}有界的一个等价定义是：存在正实数XXX,使数列的所有项都满足
∣xn∣≤X,n=1,2,3,…|x_n|≤X,n=1,2,3,…∣xn∣≤X,n=1,2,3,…

定理2.2.2 收敛数列必有界

(本例摘自参考资料[1]p38 【第二章第列极限 §2\S2§2数列极限】)

【证明】【证明】【证明】
技巧：取一个特殊的ε\varepsilonε，针对超过第NNN项的数项有界，在前NNN项的的数项为有限的，也是有界的，这样就找到了上下界。

证设数列{xn}\{x_n\}{xn}收敛，极限为aaa,由极限的定义，取ε=1\varepsilon=1ε=1,则∃N\exist N∃N,n>Nn> Nn>N:∣xn−a∣<1|x_n-a|<1∣xn−a∣<1,即
a−1<xn<a+1a-1<x_n<a+1a−1<xn<a+1取M=max⁡{x1,x2,…,xN,a+1}M=\max\{x_1,x_2,…,x_N,a+1\}M=max{x1,x2,…,xN,a+1},m=min⁡{x1,x2,…,xN,a−1}m=\min\{x_1,x_2,…,x_N,a-1\}m=min{x1,x2,…,xN,a−1},显然对 {xn}\{x_n\}{xn}所有的项，成立
m≤xn≤M,n=1,2,3,…m≤x_n≤M,n=1,2,3,…m≤xn≤M,n=1,2,3,…
证毕

要注意定理2.2.2 的逆命题并不成立，即有界数列未必收敛，例如{(一1)n}\{(一1)^n\}{(一1)n}是有界数列，但它并不收敛

(3)数列的保序性

定理2.2.3 设数列{xn},{yn}\{x_n\},\{y_n\}{xn},{yn}皆收敛，若lim⁡n→∞xn=a\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}x_{n}=alimn→∞xn=a, lim⁡n→∞yn=b\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}y_{n}=blimn→∞yn=b ,且a<ba<ba<b,则存在自然数NNN,当n>Nn>Nn>N时，成立xn<ynx_n<y_nxn<yn

(本例摘自参考资料[1]p39 【第二章第列极限 §2\S2§2数列极限】)

【证明】【证明】【证明】
技巧：取ε=b−a2\varepsilon=\frac{b-a}{2}ε=2b−a，构造中间的数a+b2进行过渡\frac{a+b}{2}进行过渡2a+b进行过渡

取ε=b−a2>0\varepsilon={\frac{b-a}{2}}\gt 0ε=2b−a>0，由于lim⁡n→∞xn=a\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}x_{n}=alimn→∞xn=a，∃N1\exist N_1∃N1,n>N1n> N_1n>N1:∣xn−a∣<b−a2|x_n-a|<\frac{b-a}{2}∣xn−a∣<2b−a，因而
xn<a+b−a2=a+b2x_n<a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}xn<a+2b−a=2a+b由于lim⁡n→∞yn=b\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}y_{n}=blimn→∞yn=b，∃N2\exist N_2∃N2,n>N2n> N_2n>N2:∣yn−b∣<b−a2|y_n-b|<\frac{b-a}{2}∣yn−b∣<2b−a，因而
yn>b−b−a2=a+b2y_n>b-\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}yn>b−2b−a=2a+b取N=max⁡{N1,N2},∀n>NN=\max\{N_1,N_2\}, \forall n>NN=max{N1,N2},∀n>N有
xn<a+b2<ynx_n<\frac{a+b}{2}<y_nxn<2a+b<yn
证毕

推论：若 lim⁡n→∞yn=b≠0\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}y_{n}=b\neq0limn→∞yn=b=0，则存在自然数NNN,当n>Nn>Nn>N时，成立∣yn∣>∣b∣2>0|y_n|>\frac{|b|}{2}>0∣yn∣>2∣b∣>0

其他命题1 ：设数列{xn},{yn}\{x_n\},\{y_n\}{xn},{yn}皆收敛，若lim⁡n→∞xn=a\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}x_{n}=alimn→∞xn=a, lim⁡n→∞yn=b\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}y_{n}=blimn→∞yn=b ,若存在自然数NNN,当n>Nn>Nn>N时，成立xn<ynx_n<y_nxn<yn，则a<ba<ba<b。
（不成立，xn=1nx_n=\frac{1}{n}xn=n1，yn=2ny_n=\frac{2}{n}yn=n2，但是a=b=0a=b=0a=b=0）

其他命题2 ：设数列{xn},{yn}\{x_n\},\{y_n\}{xn},{yn}皆收敛，若lim⁡n→∞xn=a\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}x_{n}=alimn→∞xn=a, lim⁡n→∞yn=b\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}y_{n}=blimn→∞yn=b ,若存在自然数NNN,当n>Nn>Nn>N时，成立xn≤ynx_n\le y_nxn≤yn，则a≤ba\le ba≤b。
（成立）

(4)数列的夹逼性

定理2.2.4 若三个数列{xn},{yn},{zn}\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}{xn},{yn},{zn}从某项开始成立
xn≤yn≤zn,n>n0x_n\le y_n \le z_n, n>n_0xn≤yn≤zn,n>n0
且lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞zn=a\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}z_{n}=alimn→∞xn=limn→∞zn=a，则lim⁡n→∞yn=a\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}y_{n}=alimn→∞yn=a
(本例摘自参考资料[1]p39 【第二章第列极限 §2\S2§2数列极限】)

【证明】【证明】【证明】
技巧：根据已知条件凑出yny_nyn极限是aaa，从定义出发

∀ε>0\forall \varepsilon>0∀ε>0, 由于lim⁡n→∞xn=a\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}x_{n}=alimn→∞xn=a，∃N1\exist N_1∃N1,n>N1n> N_1n>N1:∣xn−a∣<ε|x_n-a|<\varepsilon∣xn−a∣<ε，因而
xn>a−εx_n>a-\varepsilonxn>a−ε由于lim⁡n→∞zn=a\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}z_{n}=alimn→∞zn=a，∃N2\exist N_2∃N2,n>N2n> N_2n>N2:∣zn−a∣<ε|z_n-a|<\varepsilon∣zn−a∣<ε，因而
zn<a+εz_n<a+\varepsilonzn<a+ε, 取N=max⁡{N1,N2},∀n>NN=\max\{N_1,N_2\}, \forall n>NN=max{N1,N2},∀n>N有
a−ε<xn≤yn≤zn<a+εa-\varepsilon<x_n\le y_n\le z_n<a+\varepsilona−ε<xn≤yn≤zn<a+ε
于是有
∣yn−a∣<ε|y_n-a|<\varepsilon∣yn−a∣<ε所以lim⁡n→∞yn=a\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}y_{n}=alimn→∞yn=a
证毕

我们常常利用夹逼性来求数列的极限。
典型例题：
例2.2.7 数列{n+1−n}\{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\}{n+1−n}极限为0
技巧：平方差公式的反用,夹逼性的典型使用
例2.2.8 lim⁡n→∞(a1n+a2n+⋯+apn)1n=max⁡1≤i≤p{ai}\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}\bigl(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{p}^{n}\bigr)^{\frac{1}{n}}\,=\,\operatorname*{max}_{1\leq i\leq p}\{a_i\}\,limn→∞(a1n+a2n+⋯+apn)n1=max1≤i≤p{ai}, 其中ai≥0(i=1,2,3,⋯,p)a_{i}{\geq}0(i=1,2,3,\cdots,p)ai≥0(i=1,2,3,⋯,p)
技巧：夹逼性的典型使用,构造两个极端，括号内大于最大数和括号内全是最大数

参考资料

[1]数学分析[M]. 高等教育出版社 , 陈纪修等[编著], 2004

【数学分析笔记05】数列极限的性质相关推荐

高等数学学习笔记——第八讲——数列极限的性质（2.数列极限的四则运算法则）
1. 数列极限的四则运算法则 2. 数列极限计算示例
高等数学笔记：极限的性质总结
繁星数学随想录·笔记卷摘录卷极限的性质总结一.数列极限的性质 01 唯一性 lim ⁡ n → ∞ x n = A , lim ⁡ n → ∞ x n = B ⇒ A = B \lim \lim ...
数列极限四则运算误区
数列极限的四则运算法则有这么一条:<br> $$\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim_{ ...
组队学习（数列极限）
数列极限数列极限的考点: 数列极限的性质性质分为唯一性,有界性和保号性. 其中保号性的脱帽法和戴帽比较常用,脱帽法为极限值>(<)0,则数列>(<)0.戴帽法则为数列> ...
【数学分析笔记06】数列极限的四则运算
引言本科毕业以后越觉数学的奇妙,想弥补一下数学知识的证明,做点记录,方便后续查阅. 1.知识铺垫:数列极限的四则运算定理2,2.5 设lim⁡n→∞xn=a\operatorname*{lim}_ ...
数学分析笔记-菲赫金哥尔茨-第一卷-极限论
标签(空格分隔): 微积分数学分析笔记-菲赫金哥尔茨-第一卷-极限论 1.整序变量及其极限 22.变量.整序变量. 整序变量的定义(序列,估计数列,级数-也行). 整序变量的给定(给定通项公式,或者 ...
积分上下限无穷_数学分析|第九章定积分利用等价无穷小量和定积分定义解决数列极限问题总结...
当公式或文字展示不完全时,记得向左←滑动哦! 摘要: 当我们利用等价无穷小量时,不仅仅可以利用等价替换,有的时候我们需要利用极限的定义语言来解决问题,当等价无穷小量和连加数列结合在一起时,虽然很多同学 ...
蔡高厅高等数学 06 数列极限的定义、数列收敛的性质1
06 数列极限的定义 1.3 倍速已给出数列{Un}和常数A,如果对于任意给定的正数a,都存在一个正整数N,使得对于n>N的一切Un, 不等式 |Un-A|<a 恒成立, 则称n-& ...
002数列极限的定义及数列的极限性质
大家一起学数学:数列极限的定义及数列的极限性质慢慢来,打好基础,千万别掉队.
数学分析笔记-无穷限的反常积分的收敛性与无穷远处的极限的关系
数学分析笔记-无穷限的反常积分的收敛性与无穷远处的极限的关系.pdf 转载于:https://www.cnblogs.com/zhouqimath/p/11528061.html

【数学分析笔记05】数列极限的性质

引言