数列极限四则运算误区

数列极限的四则运算法则有这么一条： 
$$\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$$
运用上面的法则，来看下面这道题： 
$$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{\sqrt {n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt {n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt {n^2+n}})$$
很自然的，我们有：原式＝
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=0+0+...+0=0$$
一切看上去似乎毫无任何破绽，有破绽吗？ 
我们知道，数列极限的性质中，有一个“迫敛性定理”，也叫作“夹逼准则”，是这样叙述的： 
> 设收敛数列${a_n},b_n$都以$a$为极限，数列$c_n$满足：存在正数$N_0$，当$n>N_0$时有$a_n<=c_n<=b_n$，则数列$c_n$收敛，且$\lim_{n\rightarrow\infty}{c_n}=a$.

运用迫敛性定理，再次计算上题： 
$$1=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{\sqrt {n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt {n^2+n}}+...+\frac{1}{\sqrt {n^2+n}})<\\\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{\sqrt {n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt {n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt {n^2+n}})\\<\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{\sqrt {n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt {n^2+1}}+...+\frac{1}{\sqrt {n^2+1}})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=1$$
此时得到的答案是１. 
事实上，**这道题的答案就是１**，那么第一种解法在哪里出问题了呢？ 
仔细观察题干，当$n\rightarrow\infty$时，括号里面的项数会随之增加到无穷多项，从而题目就等价于求解**无穷多个无穷小之和**，这是**极限的未定式**的一种，叫做$\infty*0$型，这类式子（即“未定式”）的极限不确定，可以是0，是其他数，也可以不存在，它的极限不一定等于0，也就不满足四则运算法则，所以解法１不可行. 
下面的栗子同样如此： 
$$1=\lim_{n\rightarrow\infty}1=\lim_{n\rightarrow\infty}n\frac{1}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}+...+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0+0+...+0=0$$
当把１拆成$n$个$\frac{1}{n}$之和时，$\frac{1}{n}$的个数会随着$n\rightarrow\infty$而趋于$\infty$，这也是上面的$\infty*0$未定式型.

通过这个栗子，我们要谨记：**极限的四则运算法则只对有限项成立，当推广到无限项时则不一定成立，因为此时会出现未定式，而未定式不能使用四则运算.** 
***
现在来总结下极限的７种未定式，它们分别是： 
（1）0/0

（2）∞/∞

（3）0·∞（栗子）

（4）∞-∞

（5）0^0

（6）∞^0

（7）1^∞

对于这些未定式，都不能运用极限的四则运算！ 
![](/home/fantasy/Desktop/sxfx/1.jpg)
![](/home/fantasy/Desktop/sxfx/2.jpg)
***
写了一大堆，其实最初的想法来源是陈纪修老师的教材上的一道题，现在来一起看一下这道题： 
* 设$a_n>0$，$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$，求证$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$
![](/home/fantasy/Desktop/sxfx/3.jpg) 
在第一个证明的倒数第二行，即
$$\lim_{n\rightarrow\infty}｜\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}-a｜=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+...+(a_n-a)}{n}=0$$
这里计算出来的那个０，并不是运用四则运算法则将其拆开，因为这里也是有无穷多项，虽然拆开计算的结果也是０，但是这只是巧合罢了，正确的做法是： 
由已知$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$，并且在前一步已经证明了当$a=0$时，$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=0=a$，即**$a_n$**是无穷小量时所证引理结论成立. 
而当$a!=0$时，$a_n-a$便是无穷小量（理由：在题干中，将已知的$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$中的$a$移到左侧即得$\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n-a)=0$)，既然$a_n-a$是无穷小量了，那就可以套用刚刚证明的结论了（这个结论通俗点说就是：若$a_n$的极限是$a$，**如果$a_n$是无穷小量**，即$a=0$，**则有$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=a=0$，用的就是它等于０这一点）**，现在的无穷小量是$a_n-a$，那么就应该有$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+...+(a_n-a)}{n}=0$.

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