百鸽笼

题解

首先，我们依然可以像上道题一样进行类似的转化。
每次操作时会随机一个使它减小111，我们的目的是当所有数都减到⩽0\leqslant 0⩽0，统计每个数时最后一个见得概率。
我们不妨去尝试枚举aia_iai作为一个最后减到000的数，那么相当于要求在之前的减小序列中，这个数会出现ai−1a_i-1ai−1次，其它数会出现大于等于aja_jaj次。
可以尝试通过EGFEGFEGF进行表示，其中我们定义Fi(x)F_i(x)Fi(x)表示固定点iii作为末尾端点时的生成函数，显然有：
Fi(x)=xai−1(ai−1)!∏j≠i(∑k=aj∞xkk!)=xai−1(ai−1)!∏j≠i(ex−∑k=0aj−1xkk!)F_i(x)=\frac{x^{a_i-1}}{(a_i-1)!}\prod_{j\ne i}(\sum_{k=a_{j}}^{\infty}\frac{x^k}{k!})=\frac{x^{a_i-1}}{(a_i-1)!}\prod_{j\ne i}(e_x-\sum_{k=0}^{a_j-1}\frac{x^k}{k!}) Fi(x)=(ai−1)!xai−1j=i∏(k=aj∑∞k!xk)=(ai−1)!xai−1j=i∏(ex−k=0∑aj−1k!xk)我们记AnsiAns_iAnsi表示aia_iai的答案，显然这个答案是可以通过Fi(x)F_i(x)Fi(x)算出来的。
Ansi=∑j=0∞j![xj]Fi(x)nj+1Ans_i=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{j![x^j]F_i(x)}{n^{j+1}} Ansi=j=0∑∞nj+1j![xj]Fi(x)由于Fi(x)F_i(x)Fi(x)中的exe^xex展开后次数是会达到无限大的，可能不太好算，我们不妨先记y=exy=e^xy=ex，将它先看成一个二元生成函数，这样就可以比较容易的算出每个[xjyk][x^jy^k][xjyk]的系数，再与xjykx^jy^kxjyk中每个xxx次项的系数乘起来。
显然，有
Ansi=∑j=0∞f(j,k)[xjyk]Fi(x)f(i,j)=1ni+1∑k=0∞jk(i+k)!nkk!=1ni+1∑k=0∞(jn)k(i+k)i‾Ans_i=\sum_{j=0}^{\infty}f(j,k)[x^jy^k]F_i(x)\\ f(i,j)=\frac{1}{n^{i+1}}\sum _{k=0}^{\infty}\frac{j^k(i+k)!}{n^{k}k!}=\frac{1}{n^{i+1}}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{j}{n})^k(i+k)^{\underline{i}} Ansi=j=0∑∞f(j,k)[xjyk]Fi(x)f(i,j)=ni+11k=0∑∞nkk!jk(i+k)!=ni+11k=0∑∞(nj)k(i+k)i如果我们将jn\frac{j}{n}nj看作一个变元，那么我们后面这个式子相当于一个对一个多项式求iii次导。
可以得到
f(i,j)=1ni+1(∑k=0∞(jn)k)(i)=1ni+1(11−(jn))(i)=1ni+1(11−jn)i+1=i!(n−d)i+1f(i,j)=\frac{1}{n^{i+1}}(\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{j}{n})^k)^{(i)}=\frac{1}{n^{i+1}}(\frac{1}{1-(\frac{j}{n})})^{(i)}=\frac{1}{n^{i+1}}(\frac{1}{1-\frac{j}{n}})^{i+1}=\frac{i!}{(n-d)^{i+1}} f(i,j)=ni+11(k=0∑∞(nj)k)(i)=ni+11(1−(nj)1)(i)=ni+11(1−nj1)i+1=(n−d)i+1i!这样，我们就可以快速计算f(i,j)f(i,j)f(i,j)了。

好了，接下来剩下的就只有前面的Fi(x)F_i(x)Fi(x)该怎么求了。
单个Fi(x)F_i(x)Fi(x)显然是可以通过背包计算的，但如果每个都这样算的话复杂度会达到O(n4m2)O\left(n^4m^2\right)O(n4m2)，其中mmm为aia_iai的大小。
但实际上考虑到我们整个多项式乘法的转移是呈现一个有向图的形式，大概是这样的

其中最后一列最开始是没有值的，所以我们可以考虑先将所有的多项式乘在一起，再一个一个回退求解。
这样就可以做到O(n3m2)O\left(n^3m^2\right)O(n3m2)了。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL,LL> pii;
#define MAXN 905
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lowbit(x) (x&-x)
const int mo=998244353;
const int inv2=5e8+4;
const int jzm=2333;
const int zero=200000;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double LOG310=log(10)/log(3);
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-9;
const int orG=3,ivG=332748118;
const int lm=10;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){_T f=1;x=0;char s=getchar();while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}x*=f;
}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int n,a[35],all,fac[MAXN],inv[MAXN],ff[MAXN];
int summ,dp[35][MAXN],g[35][MAXN];
void init(){fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=ff[1]=1;for(int i=2;i<=max(n,all);i++){fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mo;ff[i]=1ll*(mo-mo/i)*ff[mo%i]%mo;inv[i]=1ll*ff[i]*inv[i-1]%mo;}
}
int main(){read(n);for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]),all+=a[i]-1;init();dp[0][0]=1;for(int i=1,sum=0;i<=n;i++){for(int j=0;j<i;j++)for(int k=0;k<=sum;k++){Add(g[j+1][k],dp[j][k],mo);for(int l=0;l<a[i];l++)Add(g[j][k+l],mo-1ll*inv[l]*dp[j][k]%mo,mo);}sum+=a[i]-1;for(int j=0;j<=i;j++)for(int k=0;k<=sum;k++)dp[j][k]=g[j][k],g[j][k]=0;}for(int i=1;i<=n;i++){int up=all-a[i]+1,ans=0;for(int j=n-1;j>=0;j--)for(int k=0;k<=up;k++){g[j][k]=dp[j+1][k];for(int l=0;l<a[i]&&l<=k;l++)Add(g[j][k],1ll*inv[l]*g[j+1][k-l]%mo,mo);}for(int j=0;j<n;j++)for(int k=a[i]-1;k<=all;k++){int tmp=1ll*g[j][k-a[i]+1]*fac[k]%mo*inv[a[i]-1]%mo;Add(ans,1ll*tmp*qkpow(ff[n-j],k+1,mo)%mo,mo),g[j][k-a[i]+1]=0;}printf("%d ",ans);}puts("");return 0;
}

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