UA OPTI570 量子力学6 单个粒子的波函数空间

波函数空间
- 波函数空间是线性空间
- 波函数的内积
- 波函数的线性算子
波函数空间的离散基
- 波函数的标准正交基
- Closure Relation
波函数空间的连续基

前面的内容基本让我们从物理上接受了波函数这个概念，那么从这一讲开始我们要试图让波函数在数学上也成为一个比较严谨的工具。

波函数空间

在讨论单个粒子的薛定谔方程时，我们介绍了波函数ψ(r)\psi(\textbf r)ψ(r)的物理意义是∣ψ(r)∣2|\psi(\textbf r)|^2∣ψ(r)∣2表示这个粒子出现在r\textbf rr处的概率，因此波函数收到概率归一性的约束，即在空间每个位置出现的概率之和为1：
∫∣ψ(r)∣2d3r=1\int |\psi(\textbf r)|^2 d^3 \textbf r=1∫∣ψ(r)∣2d3r=1

根据这个性质，我们很容易就能联想到数学中的平方可积函数这个概念，也就是在给定集合上平方后的积分有限的这类函数。这类函数组成的集合为L2L^2L2，但作为物理学人，我们肯定是不想用这么规范的数学符号的，更何况L2L^2L2代表的函数可比波函数更广，于是我们就定义F\mathcal{F}F作为所有可能的单个粒子的波函数的集合，当然F\mathcal{F}F应该是L2L^2L2的子集。

波函数空间是线性空间

因为L2L^2L2是线性空间，要说明波函数空间F\mathcal{F}F也是线性空间，只需要说明F\mathcal{F}F是L2L^2L2的线性子空间即可，即说明∀ψ1,ψ2∈F\forall \psi_1,\psi_2 \in \mathcal{F}∀ψ1,ψ2∈F
ψ=λ1ψ1+λ2ψ2∈F,∀λ1,λ2∈C\psi = \lambda_1 \psi_1+\lambda_2 \psi_2 \in \mathcal{F},\forall \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{C}ψ=λ1ψ1+λ2ψ2∈F,∀λ1,λ2∈C

根据波函数的叠加原理，ψ\psiψ在物理上是个波函数，要从数学上说明ψ∈F\psi \in \mathcal{F}ψ∈F，需要证明ψ\psiψ平方可积，
∣ψ∣2=∣λ1∣2∣ψ1∣2+∣λ2∣2∣ψ2∣2+λ1∗λ2ψ1∗ψ2+λ1λ2∗ψ1ψ2∗|\psi|^2=|\lambda_1|^2|\psi_1|^2+|\lambda_2|^2|\psi_2|^2+\lambda_1^*\lambda_2\psi_1^*\psi_2+\lambda_1\lambda_2^*\psi_1\psi_2^*∣ψ∣2=∣λ1∣2∣ψ1∣2+∣λ2∣2∣ψ2∣2+λ1∗λ2ψ1∗ψ2+λ1λ2∗ψ1ψ2∗

前两项是可积的，而后两项的模的上界为
∣λ1∣∣λ2∣(∣ψ1∣2+∣ψ2∣2)|\lambda_1||\lambda_2|(|\psi_1|^2+|\psi_2|^2)∣λ1∣∣λ2∣(∣ψ1∣2+∣ψ2∣2)

这也是可积的，综上ψ∈F\psi \in \mathcal{F}ψ∈F。

波函数的内积

∀ϕ,ψ∈F\forall \phi,\psi \in \mathcal{F}∀ϕ,ψ∈F，定义它们的内积为
(ϕ,ψ)=∫ψ∗(r)ψ(r)d3r(\phi,\psi) = \int \psi^*(\textbf r)\psi(\textbf r)d^3 \textbf r(ϕ,ψ)=∫ψ∗(r)ψ(r)d3r

在复值函数的内积中，顺序是比较重要的，所以这个内积被称为scalar product of ψ\psiψ by ϕ\phiϕ，也就是用ϕ\phiϕ乘ψ\psiψ的内积，如果两个波函数内积为0，就称它们正交(orthogonal)。它满足下面四条性质：

(ϕ,ψ)=(ψ,ϕ)∗(\phi,\psi)=(\psi,\phi)^*(ϕ,ψ)=(ψ,ϕ)∗
Linearity: (ϕ,λ1ψ1+λ2ψ2)=λ1(ϕ,ψ1)+λ2(ϕ,ψ2)(\phi,\lambda_1\psi_1+\lambda_2\psi_2)=\lambda_1(\phi,\psi_1)+\lambda_2(\phi,\psi_2)(ϕ,λ1ψ1+λ2ψ2)=λ1(ϕ,ψ1)+λ2(ϕ,ψ2)
Anti-linearity: (λ1ϕ1+λ2ϕ2,ψ)=λ1∗(ϕ1,ψ)+λ2∗(ϕ2,ψ)(\lambda_1\phi_1+\lambda_2\phi_2,\psi)=\lambda^*_1(\phi_1,\psi)+\lambda_2^*(\phi_2,\psi)(λ1ϕ1+λ2ϕ2,ψ)=λ1∗(ϕ1,ψ)+λ2∗(ϕ2,ψ)
Schwarz不等式：∣(ψ1,ψ2)∣≤(ψ1,ψ1)(ψ2,ψ2)|(\psi_1,\psi_2)| \le \sqrt{(\psi_1,\psi_1)}\sqrt{(\psi_2,\psi_2)}∣(ψ1,ψ2)∣≤(ψ1,ψ1)(ψ2,ψ2)

波函数的线性算子

称定义在F\mathcal{F}F上的函数AAA是线性算子，如果∀ψ1,ψ2∈F\forall \psi_1,\psi_2 \in \mathcal{F}∀ψ1,ψ2∈F，
A(λ1ψ1+λ2ψ2)=λ1Aψ1+λ2Aψ2,∀λ1,λ2∈CA(\lambda_1 \psi_1+\lambda_2\psi_2)=\lambda_1A\psi_1+\lambda_2A\psi_2,\forall \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{C}A(λ1ψ1+λ2ψ2)=λ1Aψ1+λ2Aψ2,∀λ1,λ2∈C

常见的比如微分算子：
Dxψ=∂ψ∂xD_x \psi = \frac{\partial \psi}{\partial x}Dxψ=∂x∂ψ

parity operator：
Πψ(x,y,z)=ψ(−x,−y,−z)\Pi \psi(x,y,z)=\psi(-x,-y,-z)Πψ(x,y,z)=ψ(−x,−y,−z)

不知道是什么但只是简单和xxx做个乘法的算子：
Xψ=xψX\psi = x\psiXψ=xψ

两个线性算子的乘法是
(AB)ψ=A(Bψ)(AB)\psi = A(B \psi)(AB)ψ=A(Bψ)

通常AB≠BAAB \ne BAAB=BA，关于线性算子乘法的交换律，我们定义commutator（交换子）来描述：
[A,B]=AB−BA[A,B]=AB-BA[A,B]=AB−BA

比如
[X,Dx]=x∂∂x−∂∂xx=x∂∂x−x∂∂x−1=−1[X,D_x]=x \frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}x =x \frac{\partial }{\partial x}-x \frac{\partial }{\partial x}-1=- 1[X,Dx]=x∂x∂−∂x∂x=x∂x∂−x∂x∂−1=−1

如果两个线性算子的交换子为0就称它们满足交换律。

波函数空间的离散基

波函数的标准正交基

称{ui}i≥1⊂F\{u_i\}_{i \ge 1} \subset \mathcal{F}{ui}i≥1⊂F是F\mathcal{F}F的一组标准正交基，如果

(ui,uj)=δij(u_i,u_j)=\delta_{ij}(ui,uj)=δij，其中δij\delta_{ij}δij是Kronecker符号
∀ψ∈F\forall \psi \in \mathcal{F}∀ψ∈F, ∃!{ci}i≥1⊂C\exists! \{c_i\}_{i \ge 1} \subset \mathbb{C}∃!{ci}i≥1⊂C, ψ=∑iciui\psi=\sum_i c_iu_iψ=i∑ciui称{ci}ci\{c_i\}_{c_i}{ci}ci represent ψ\psiψ in the {ui}i≥1\{u_i\}_{i \ge 1}{ui}i≥1 basis，这里的cjc_jcj满足
(uj,ψ)=(uj,∑iciui)=∑iciδji=cj(u_j,\psi)=(u_j,\sum_i c_i u_i)=\sum_i c_i \delta_{ji}=c_j(uj,ψ)=(uj,i∑ciui)=i∑ciδji=cj

从数学上来看{ci}i≥1\{c_i\}_{i \ge 1}{ci}i≥1就相当于ψ\psiψ在{ui}i≥1\{u_i\}_{i \ge 1}{ui}i≥1下的坐标，在计算内积时也确实可以把它当成标准正交基下的坐标使用，比如ψ\psiψ的表示为{ci}\{c_i\}{ci}，ϕ\phiϕ的为{bi}\{b_i\}{bi}，则
(ϕ,ψ)=(∑ibiui,∑jcjuj)=∑i,jbi∗cjδij=∑ibi∗ci(\phi,\psi)= (\sum_i b_iu_i,\sum_j c_ju_j) = \sum_{i,j}b_i^*c_j \delta_{ij}= \sum_i b_i^*c_i(ϕ,ψ)=(i∑biui,j∑cjuj)=i,j∑bi∗cjδij=i∑bi∗ci

Closure Relation

考虑(ui,uj)=δij(u_i,u_j)=\delta_{ij}(ui,uj)=δij这个关系，因为
ψ(r)=∑iciui(r)=∑i(ui,ψ)ui(r)=∑i[∫ui∗(r)ψ(r′)d3r′]ui(r)=∫ψ(r)[∑iui(r)u∗(r′)]d3r′=ψ(r)\psi(\textbf r)=\sum_i c_i u_i(\textbf r) =\sum_i (u_i,\psi)u_i(\textbf r) \\ = \sum_i \left[ \int u_i^*(\textbf r)\psi(\textbf r')d^3 \textbf r' \right] u_i(\textbf r) = \int \psi(\textbf r ) \left[ \sum_{i} u_i(\textbf r)u^*(\textbf r') \right]d^3 \textbf r'=\psi(\textbf r)ψ(r)=i∑ciui(r)=i∑(ui,ψ)ui(r)=i∑[∫ui∗(r)ψ(r′)d3r′]ui(r)=∫ψ(r)[i∑ui(r)u∗(r′)]d3r′=ψ(r)

要使这个恒等式成立，那么
∑iui(r)ui∗(r′)=δ(r−r′)\sum_i u_i(\textbf r)u_i^*(\textbf r')=\delta(\textbf r - \textbf r')i∑ui(r)ui∗(r′)=δ(r−r′)

这个关系被称为closure relation，它的意义是在数学上保证基的定义与波函数在基下的表示不存在矛盾。

在已知closure relation的情况下，要得到波函数ψ\psiψ的展开式可以直接用：
ψ(r)=∫ψ(r′)δ(r−r′)d3r′=∫ψ(r′)∑iui(r)ui∗(r′)d3r′\psi(\textbf r) =\int \psi(\textbf r')\delta(\textbf r - \textbf r')d ^3 \textbf r' = \int \psi(\textbf r') \sum_i u_i(\textbf r)u_i^*(\textbf r') d^3 \textbf r'ψ(r)=∫ψ(r′)δ(r−r′)d3r′=∫ψ(r′)i∑ui(r)ui∗(r′)d3r′

进行计算。

波函数空间的连续基

上面讨论的基是可列的，也可以构造不可列的基。称{wα}\{w_{\alpha}\}{wα}为F\mathcal{F}F的连续标准正交基，如果(wα,wα′)=δ(α−α′)(w_{\alpha},w_{\alpha'})=\delta(\alpha-\alpha')(wα,wα′)=δ(α−α′)，它的closure relation为
∫wα(r)wα∗(r′)dα=δ(r−r′)\int w_{\alpha}(\textbf r) w^*_{\alpha}(\textbf r ') d\alpha = \delta(\textbf r - \textbf r')∫wα(r)wα∗(r′)dα=δ(r−r′)

此时波函数在基下的表示为c(α)c(\alpha)c(α)：
c(α)=(wα,ψ)=∫wα∗(r′)ψ(r′)d3r′c(\alpha)=(w_{\alpha},\psi)=\int w_{\alpha}^*(\textbf r')\psi(\textbf r')d^3 \textbf r'c(α)=(wα,ψ)=∫wα∗(r′)ψ(r′)d3r′

不属于波函数空间的基
有的时候也会用不属于F\mathcal{F}F的基，比如
wp(r)=1(2πℏ)3/2eip⋅r/ℏw_{\textbf p}(\textbf r)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}}e^{i \textbf p \cdot \textbf r/\hbar}wp(r)=(2πℏ)3/21eip⋅r/ℏ

这里的指标p\textbf pp代表动量。

不属于波函数空间的基：Dirac函数
再比如
wr′=δ(r−r′)w_{\textbf r'} = \delta(\textbf r - \textbf r')wr′=δ(r−r′)

这里的指标r′\textbf r'r′代表位移。