【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 共轭对称、共轭反对称 与 偶对称、奇对称关联 | 序列对称分解定理 )
文章目录
- 一、共轭对称、共轭反对称 与 偶对称、奇对称关联
- 二、序列对称分解定理
- 证明过程
- 总结
一、共轭对称、共轭反对称 与 偶对称、奇对称关联
实序列 :
- 偶对称 : x(n)=x(−n)x(n) = x(-n)x(n)=x(−n)
- 奇对称 : x(n)=−x(−n)x(n) = -x(-n)x(n)=−x(−n)
复序列 :
- 共轭对称 : x(n)=x∗(−n)x(n) = x^*(-n)x(n)=x∗(−n)
- 共轭反对称 : x(n)=−x∗(−n)x(n) = -x^*(-n)x(n)=−x∗(−n)
对于 实序列 来说 , 共轭对称 就是 偶对称 ;
对于 实序列 来说 , 共轭反对称 就是 奇对称 ;
二、序列对称分解定理
任意一个 序列 x(n)x(n)x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 与 共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 之和来表示 ;
x(n)=xe(n)+xo(n)x(n) = x_e(n) + x_o(n)x(n)=xe(n)+xo(n)
共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 与 原序列 x(n)x(n)x(n) 之间的关系如下 :
xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]
共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 与 原序列 x(n)x(n)x(n) 之间的关系如下 :
xo(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]xo(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]
证明过程
已知 : 任意序列可以由其 共轭对称序列 与 共轭反对称序列 之和表示 ,
x(n)=xe(n)+xo(n)①x(n) = x_e(n) + x_o(n) \ \ \ \ ①x(n)=xe(n)+xo(n) ①
x(n)x(n)x(n) 的 共轭对称序列是 x∗(−n)x^*(-n)x∗(−n) , 记做 xe(n)x_e(n)xe(n) ;
x(n)x(n)x(n) 的 共轭反对称序列是 −x∗(−n)-x^*(-n)−x∗(−n) , 记做 xo(n)x_o(n)xo(n) ;
将 ① 公式的 两边取 共轭 , 使用 −n-n−n 代替 nnn , 得到 :
x∗(n)=xe∗(−n)+xo∗(−n)②x^*(n) = x_e^*(-n) + x_o^*(-n)\ \ \ \ ②x∗(n)=xe∗(−n)+xo∗(−n) ②
根据共轭对称性质 x(n)=x∗(−n)x(n) = x^*(-n)x(n)=x∗(−n) , 可知 xe∗(−n)=xe(n)③x_e^*(-n) = x_e(n) \ \ \ \ ③xe∗(−n)=xe(n) ③ ;
根据共轭反对称性质 x(n)=−x∗(−n)x(n) = -x^*(-n)x(n)=−x∗(−n) , 可得到 −xo∗(−n)=xo(n)-x_o^*(-n) = x_o(n)−xo∗(−n)=xo(n) , 将负号移到等式右边 可得 xo∗(−n)=−xo(n)④x_o^*(-n) = -x_o(n) \ \ \ \ ④xo∗(−n)=−xo(n) ④ ;
将 ③ 和 ④ 带入到 ② 中 , 得到 :
x∗(n)=xe(n)−xo(n)⑤x^*(n) = x_e(n) - x_o(n) \ \ \ \ ⑤x∗(n)=xe(n)−xo(n) ⑤
① 和 ⑤ 公式相加 , xo(n)x_o(n)xo(n) 项抵消了 , 可得到
xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]
① 和 ⑤ 公式相减 , xe(n)x_e(n)xe(n) 项抵消了 , 可得到
xo(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]xo(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]
总结
任意一个序列 , 都存在 共轭对称序列 与 共轭反对称序列 ,
共轭对称序列 与 原序列 的关系 :
xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]
共轭反对称序列 与 原序列 的关系 :
xo(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]xo(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]
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