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一、单纯形法原理
二、单纯形法流程
三、初始的基可行解查找

一、单纯形法原理

单纯形法的理论基础 :

定理 111 ( 可行域是凸集 ) : 如果线性规划的问题存在可行解 , 其 可行域 必定是凸集 ;

定理 222 ( 基可行解是凸集顶点 ) : 线性规划的 基可行解 XBX_BXB 对应了上述可行域 ( 凸集 ) 的顶点位置 ;

定理 333 ( 某个基可行解是最优解 ) : 如果线性规划问题存在最优解 , 那么一定存在一个基可行解是最优解 ;

参考上一篇博客【运筹学】线性规划图解法 ( 唯一最优解 | 无穷最优解 | 无界解 | 无可行解 ) 进行分析 :

给定线性规划 :

maxZ=2x1+x2s.t={x1+1.9x2≥3.8x1−1.9x2≤3.8x1+1.9x2≤10.2x1−1.9x2≥−3.8x1,x2≥0\begin{array}{lcl} max Z = 2x_1 + x_2\\\\ s.t = \begin{cases} x_1 + 1.9x_2 \geq 3.8\\\\ x_1 - 1.9x_2 \leq 3.8\\\\ x_1 + 1.9x_2 \leq 10.2\\\\ x_1 - 1.9x_2 \geq -3.8\\\\ x_1 , x_2 \geq 0 \end{cases} \end{array}maxZ=2x1+x2s.t=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1+1.9x2≥3.8x1−1.9x2≤3.8x1+1.9x2≤10.2x1−1.9x2≥−3.8x1,x2≥0

使用图解法进行分析 , 得到如下结果 ;

使用迭代的思想进行求解 :

无限个解中迭代 : 上图中的可行域 DDD 中的点是无限的 , 可以在所有的无限个可行域 DDD 解中进行迭代 , 逐个迭代很难 ;
有限个解中迭代 : 因此选取可行域 ( 凸集 ) 的顶点 , 也就是基可行解进行迭代 , 该线性规划问题的基可行解是有限的 , 只有 444 个 , 即该凸集有 444 个顶点 ;

上图的凸集中的 444 个顶点 , 必然有一个是最优解 , 因此迭代的时候 , 不用从 DDD 可行域中的无限个点中进行迭代 , 只需要在有限个基可行解中进行迭代 , 即可找到最优解 ;

单纯形法的原理的基础就是源自上述理论 , 在线性规划的有限个基可行解中 , 必定存在一个解释最优解 , 逐个迭代 , 将这个最优解找出即可 ;

从无限个可行解中进行迭代 , 到有限个基可行解中进行迭代 , 简单了很多 ;

但是对于 m×nm \times nm×n 阶的线性规划系数矩阵 , 其基可行解的个数可能有 CnmC_n^mCnm 个 , 如果 nnn 和 mmm 很大的话 , 基可行解的数目还是很大 , 这是一个指数级的数 , 因此使用多项式算法 , 完成上述操作 , 计算量还是很大的 ;

这里使用单纯形法 , 进行迭代 , 要比使用多项式法计算量更少 ;

二、单纯形法流程

单纯形法的基本流程 :

① 初始基可行解 : 首先找到初始的基可行解 ;

② 判定是否最优解 : 需要一个准则 , 判定该初始基可行解 , 是否是最优解 ; 这里是单纯形法最核心问题 ;

③ 是最优解 : 如果该基可行解是最优解 , 那么结束迭代 ;

④ 不是最优解 : 如果该基可行解不是最优解 , 那么迭代到下一个基可行解 , 继续判定是否是最优解 ; 如何迭代也需要一个准则 ;

这里涉及到了两个准则 :

判断最优解 : 判断一个基可行解是否是最优解 ;
迭代原则 : 如何从一个基可行解迭代到下一个基可行解 ;

单纯形法涉及到的问题 :

① 初始解 : 如何找到初始基可行解 ;

② 最优解 : 如何找到一个准则 , 用于判定基可行解是否是最优解 ;

③ 迭代解 : 如果一个基可行解不满足准则 , 如何去选择下一个基可行解进行迭代 ;

解决上述 333 个问题 , 基可行解的算法 , 也就可以得出 ;

三、初始的基可行解查找

如何去找初始的基可行解 , 首先要找到一个基 , 并且该基是可行基 ;

对于 m×nm \times nm×n 阶的系数矩阵 :

基 : 从 C(n,m)C(n, m)C(n,m) 个子矩阵中找到基矩阵 , 基矩阵的条件是该 mmm 阶方阵是可逆的 ;

参考【运筹学】线性规划数学模型 ( 求解基矩阵示例 | 矩阵的可逆性 | 线性规划表示为基矩阵基向量非基矩阵非基向量形式 ) 一、求解基矩阵示例博客章节 , [51−110−106201]\begin{bmatrix} &5 & 1 & -1 & 1 & 0 & \\\\ & -10 & 6 & 2 & 0 & 1 & \end{bmatrix}⎣⎡5−1016−121001⎦⎤ 系数矩阵 , 有 C(5,2)=10C (5 , 2) = 10C(5,2)=10 个子矩阵 , 但是只有 999 个是可逆的 ;

基矩阵如下 :

B1=[51−106]B_1 = \begin{bmatrix} &5 & 1 & \\\\ & -10 & 6 & \end{bmatrix}B1=⎣⎡5−1016⎦⎤ , B2=[1−162]B_2 = \begin{bmatrix} &1 & -1 & \\\\ & 6 & 2 & \end{bmatrix}B2=⎣⎡16−12⎦⎤ , B3=[50−101]B_3 = \begin{bmatrix} &5 & 0 & \\\\ & -10 & 1 & \end{bmatrix}B3=⎣⎡5−1001⎦⎤ ,

B4=[1160]B_4 = \begin{bmatrix} &1 & 1 & \\\\ & 6 & 0 & \end{bmatrix}B4=⎣⎡1610⎦⎤ , B5=[51−100]B_5 = \begin{bmatrix} &5 & 1 & \\\\ & -10 & 0 & \end{bmatrix}B5=⎣⎡5−1010⎦⎤ , B6=[−1021]B_6 = \begin{bmatrix} &-1 & 0 & \\\\ & 2 & 1 & \end{bmatrix}B6=⎣⎡−1201⎦⎤ ,

B7=[−1120]B_7 = \begin{bmatrix} &-1 & 1 & \\\\ & 2 & 0 & \end{bmatrix}B7=⎣⎡−1210⎦⎤ , B8=[11061]B_8 = \begin{bmatrix} &1 & 10 & \\\\ & 6 & 1 & \end{bmatrix}B8=⎣⎡16101⎦⎤ , B9=[1001]B_9 = \begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & \end{bmatrix}B9=⎣⎡1001⎦⎤ ;

选择一个基矩阵 , 每个基矩阵都唯一对应一个基解 , 如果该解大于等于 000 , 说明该解是基可行解 , 那么该选择的基矩阵 , 就是可行基 ;

参考【运筹学】线性规划数学模型 ( 线性规划求解 | 根据非基变量的解得到基变量解 | 基解 | 基可行解 | 可行基 ) 三、基解博客章节 , 基解的公式是

XB=B−1bX_B = B^{-1}bXB=B−1b

使用 B1=[51−106]B_1 = \begin{bmatrix} &5 & 1 & \\\\ & -10 & 6 & \end{bmatrix}B1=⎣⎡5−1016⎦⎤ 矩阵作为基矩阵 , 求出其对应的基可行解 , 代入上述公式 :

XB=B−1bXB=[51−106]−1×[32]\begin{array}{lcl} X_B = B^{-1}b\\\\ X_B = \begin{bmatrix} &5 & 1 & \\\\ & -10 & 6 & \end{bmatrix}^{-1} \times \begin{bmatrix} &3 & \\\\ & 2 & \end{bmatrix} \end{array}XB=B−1bXB=⎣⎡5−1016⎦⎤−1×⎣⎡32⎦⎤

如果上述 XBX_BXB 的两个分量 (x1x2)\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \end{pmatrix}(x1x2) 都大于 0 , 说明该解释基可行解 , 该基矩阵 B1B_1B1 是可行基 ;

使用算法进行迭代 , 一个个判断太浪费时间 , 选择 B1B_1B1 作为基矩阵 , 计算很复杂 , 这里选择 B9=[1001]B_9 = \begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & \end{bmatrix}B9=⎣⎡1001⎦⎤ 作为基矩阵 , 这是个单位阵 , 其逆矩阵还是其单位阵本身 ;

B9B_9B9 基矩阵对应的基变量是 XB=(x4x5)X_B = \begin{pmatrix} x_4\\ x_5 \\ \end{pmatrix}XB=(x4x5) , 将基矩阵代入 XB=B−1bX_B = B^{-1}bXB=B−1b 公式 ;

XB=B−1bXB=[1001]−1×[32]XB=[1001]×[32]XB=[32]\begin{array}{lcl} X_B = B^{-1}b\\\\ X_B = \begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & \end{bmatrix}^{-1} \times \begin{bmatrix} &3 & \\\\ & 2 & \end{bmatrix}\\\\ X_B = \begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} &3 & \\\\ & 2 & \end{bmatrix}\\\\ X_B = \begin{bmatrix} &3 & \\\\ & 2 & \end{bmatrix} \end{array}XB=B−1bXB=⎣⎡1001⎦⎤−1×⎣⎡32⎦⎤XB=⎣⎡1001⎦⎤×⎣⎡32⎦⎤XB=⎣⎡32⎦⎤

由上述计算过程得到 XB=(x4x5)=(32)X_B = \begin{pmatrix} x_4\\ x_5 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 2 \\ \end{pmatrix}XB=(x4x5)=(32) 结果 , x4x_4x4 和 x5x_5x5 都大于 000 , (00032)\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 3\\ 2 \\ \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎛00032⎠⎟⎟⎟⎟⎞是基可行解 , 该 XBX_BXB 是可行基 ;

使用 B1B_1B1 作为基矩阵 , 不好计算 , 还需要求 B1B_1B1 矩阵的逆矩阵 , B9B_9B9 是单位阵 , 所有的单位阵 III 都是可行基 , 初始基可行解选取时 , 优先选择单位阵 ;

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二、单纯形法流程

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