【运筹学】线性规划 单纯形法 案例二 ( 第二次迭代 | 矩阵变换 | 检验数计算 | 最优解判定 )
文章目录
- 一、第二次迭代 : 进行矩阵变换
- 二、第二次迭代 : 计算检验数
- 三、第二次迭代 : 最优解判定
【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 第二次迭代 | 方程组同解变换 | 生成新单纯形表 | 计算检验数 | 最优解判定 | 线性规划解个数分析 ) 后续博客 , 在上一篇博客中进行了 第二次迭代 , 使用中心元变换得到新的系数矩阵 , 计算检验数 , 验证最优解 , 计算入基变量 , 出基变量 , 本篇博客开始进行第三次迭代 ;
一、第二次迭代 : 进行矩阵变换
在上一篇博客中 , 第一次迭代后 , 找到 入基变量 x1x_1x1 , 出基变量 x4x_4x4 , 使用 x1x_1x1 替换基变量中的 x4x_4x4 位置 ;
新的单纯形表为 :
| cjc_jcj | cjc_jcj | 111 | 222 | 111 | 000 | 000 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| CBC_BCB 基变量系数 (目标函数) | 基变量 | 常数 bbb | x1x_1x1 | x2x_2x2 | x3x_3x3 | x4x_4x4 | x5x_5x5 | θi\theta_iθi |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 151515 | 222 | −3-3−3 | 222 | 111 | 000 | −-− (θ4\theta_4θ4) |
| 000 ( 目标函数 x5x_5x5 系数 c5c_5c5) | x5x_5x5 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | 202020 ( θ5\theta_5θ5 ) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 111 ( σ1\sigma_1σ1 ) | 222 ( σ2\sigma_2σ2 ) | 111 ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | 000 | |||
| 第一次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 757575 | 333 | 000 | 171717 | 111 | 333 | 252525 ( θ4\theta_4θ4 ) |
| 222 ( 目标函数 x2x_2x2 系数 c2c_2c2) | x2x_2x2 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | 606060 (θ2\theta_2θ2) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 13\dfrac{1}{3}31 ( σ1\sigma_1σ1 ) | 000 | −9-9−9 ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | −2-2−2 ( σ5\sigma_5σ5 ) | |||
| 第二次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – |
| 111 ( 目标函数 x1x_1x1 系数 c1c_1c1 ) | x1x_1x1 | ??? | ??? | ??? | ??? | ??? | ??? | ??? ( θ1\theta_1θ1 ) |
| 222 ( 目标函数 x2x_2x2 系数 c2c_2c2) | x2x_2x2 | ??? | ??? | ??? | ??? | ??? | ??? | ??? (θ2\theta_2θ2) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 000 | 000 | ??? ( σ3\sigma_3σ3 ) | ??? ( σ4\sigma_4σ4 ) | ??? ( σ5\sigma_5σ5 ) |
中心元 : 入基变量 x1x_1x1 所在列 , 与出基变量 x4x_4x4 所在行 , 相交的位置叫做中心元 ;
- 中心元系数 : 转换成 111 ;
- 中心元所在列另一个系数 : 转换成 000 ;
当前的线性规划标准形式等式方程组 : {3x1+0x2+17x3+x4+3x5=7513x1+x2+5x3+0x4+x5=20\begin{cases} 3 x_1 + 0x_2 + 17x_3 + x_4 + 3x_5 = 75 \\\\ \dfrac{1}{3}x_1 + x_2 + 5x_3 + 0x_4 + x_5 = 20 \end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧3x1+0x2+17x3+x4+3x5=7531x1+x2+5x3+0x4+x5=20
中心元转换为 111 : 将 3x1+0x2+17x3+x4+3x5=753 x_1 + 0x_2 + 17x_3 + x_4 + 3x_5 = 753x1+0x2+17x3+x4+3x5=75 中的 x1x_1x1 系数变成 111 , 只需要将方程等式两边都乘以 13\cfrac{1}{3}31 即可 ;
(3x1+0x2+17x3+x4+3x5)×13=75×13x1+0x2+173x3+13x4+x5=25\begin{array}{lcl} ( 3 x_1 + 0x_2 + 17x_3 + x_4 + 3x_5 ) \times \cfrac{1}{3} &=& 75 \times \cfrac{1}{3}\\\\ x_1 + 0 x_2 + \cfrac{17}{3} x_3 + \dfrac{1}{3}x_4 + x_5 &=& 25 \end{array}(3x1+0x2+17x3+x4+3x5)×31x1+0x2+317x3+31x4+x5==75×3125
与中心元同一列的 x1x_1x1 的系数转换为 000 : 将 13x1+x2+5x3+0x4+x5=20\dfrac{1}{3}x_1 + x_2 + 5x_3 + 0x_4 + x_5 = 2031x1+x2+5x3+0x4+x5=20 中的 x1x_1x1 系数转为 000 :
- 将 x1+0x2+173x3+13x4+x5=25x_1 + 0 x_2 + \cfrac{17}{3} x_3 + \dfrac{1}{3}x_4 + x_5 = 25x1+0x2+317x3+31x4+x5=25 方程 左右变量乘以 −13-\dfrac{1}{3}−31 ;
- 将上个步骤得到的等式与 13x1+x2+5x3+0x4+x5=20\dfrac{1}{3}x_1 + x_2 + 5x_3 + 0x_4 + x_5 = 2031x1+x2+5x3+0x4+x5=20 相加 , 即可使 x1x_1x1 系数为 000 ;
(x1+0x2+173x3+13x4+x5)×−13+(13x1+x2+5x3+0x4+x5)=25×−13+20(−x1+0x2−179x3−19x4−13x5)+(13x1+x2+5x3+0x4+x5)=3530x1+x2+289x3−19x4+23x5=353\begin{array}{lcl} ( x_1 + 0 x_2 + \cfrac{17}{3} x_3 + \dfrac{1}{3}x_4 + x_5 ) \times -\dfrac{1}{3} + ( \dfrac{1}{3}x_1 + x_2 + 5x_3 + 0x_4 + x_5 )= 25 \times -\dfrac{1}{3} + 20 \\\\ (-x_1 + 0x_2 -\cfrac{17}{9} x_3 - \dfrac{1}{9}x_4 -\dfrac{1}{3} x_5 ) + ( \dfrac{1}{3}x_1 + x_2 + 5x_3 + 0x_4 + x_5 ) = \dfrac{35}{3} \\\\ 0x_1 + x_2 + \cfrac{28}{9} x_3 - \dfrac{1}{9}x_4 + \cfrac{2}{3} x_5 = \dfrac{35}{3} \end{array}(x1+0x2+317x3+31x4+x5)×−31+(31x1+x2+5x3+0x4+x5)=25×−31+20(−x1+0x2−917x3−91x4−31x5)+(31x1+x2+5x3+0x4+x5)=3350x1+x2+928x3−91x4+32x5=335
新的单纯形表为 :
| cjc_jcj | cjc_jcj | 111 | 222 | 111 | 000 | 000 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| CBC_BCB 基变量系数 (目标函数) | 基变量 | 常数 bbb | x1x_1x1 | x2x_2x2 | x3x_3x3 | x4x_4x4 | x5x_5x5 | θi\theta_iθi |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 151515 | 222 | −3-3−3 | 222 | 111 | 000 | −-− (θ4\theta_4θ4) |
| 000 ( 目标函数 x5x_5x5 系数 c5c_5c5) | x5x_5x5 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | 202020 ( θ5\theta_5θ5 ) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 111 ( σ1\sigma_1σ1 ) | 222 ( σ2\sigma_2σ2 ) | 111 ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | 000 | |||
| 第一次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 757575 | 333 | 000 | 171717 | 111 | 333 | 252525 ( θ4\theta_4θ4 ) |
| 222 ( 目标函数 x2x_2x2 系数 c2c_2c2) | x2x_2x2 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | 606060 (θ2\theta_2θ2) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 13\dfrac{1}{3}31 ( σ1\sigma_1σ1 ) | 000 | −9-9−9 ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | −2-2−2 ( σ5\sigma_5σ5 ) | |||
| 第二次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – |
| 111 ( 目标函数 x1x_1x1 系数 c1c_1c1 ) | x1x_1x1 | 252525 | 111 | 000 | 173\dfrac{17}{3}317 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | ??? ( θ1\theta_1θ1 ) |
| 222 ( 目标函数 x2x_2x2 系数 c2c_2c2) | x2x_2x2 | 353\dfrac{35}{3}335 | 000 | 111 | 289\dfrac{28}{9}928 | −19-\dfrac{1}{9}−91 | 23\dfrac{2}{3}32 | ??? (θ2\theta_2θ2) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 000 | 000 | ??? ( σ3\sigma_3σ3 ) | ??? ( σ4\sigma_4σ4 ) | ??? ( σ5\sigma_5σ5 ) |
二、第二次迭代 : 计算检验数
1 . 计算非基变量 x3x_3x3 的检验数 σ3\sigma_3σ3 :
σ3=1−(12)×(173289)=1−(1×173+2×289)=9−17×3+28×29=−989\sigma_3 = 1 - \begin{pmatrix} \quad 1 \quad 2 \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad \dfrac{17}{3} \quad \\\\ \quad \dfrac{28}{9} \quad \\ \end{pmatrix} = 1- ( 1 \times \dfrac{17}{3} + 2 \times \dfrac{28}{9} ) = \dfrac{9 - 17 \times 3 + 28 \times 2}{9} = - \dfrac{98}{9}σ3=1−(12)×⎝⎜⎜⎛317928⎠⎟⎟⎞=1−(1×317+2×928)=99−17×3+28×2=−998
2 . 计算非基变量 x4x_4x4 的检验数 σ4\sigma_4σ4 :
σ4=0−(12)×(13−19)=0−(1×13−2×19)=−19\sigma_4 = 0 - \begin{pmatrix} \quad 1 \quad 2 \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad \dfrac{1}{3} \quad \\\\ \quad -\dfrac{1}{9} \quad \\ \end{pmatrix} = 0- ( 1 \times \dfrac{1}{3} - 2 \times \dfrac{1}{9} ) = - \dfrac{1}{9}σ4=0−(12)×⎝⎜⎜⎛31−91⎠⎟⎟⎞=0−(1×31−2×91)=−91
3 . 计算非基变量 x5x_5x5 的检验数 σ5\sigma_5σ5 :
σ5=0−(12)×(123)=0−(1×1+2×23)=−73\sigma_5 = 0 - \begin{pmatrix} \quad 1 \quad 2 \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad 1 \quad \\\\ \quad \dfrac{2}{3} \quad \\ \end{pmatrix} = 0- ( 1 \times 1 + 2 \times \dfrac{2}{3} ) = - \dfrac{7}{3}σ5=0−(12)×⎝⎜⎛132⎠⎟⎞=0−(1×1+2×32)=−37
新的单纯形表为 :
| cjc_jcj | cjc_jcj | 111 | 222 | 111 | 000 | 000 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| CBC_BCB 基变量系数 (目标函数) | 基变量 | 常数 bbb | x1x_1x1 | x2x_2x2 | x3x_3x3 | x4x_4x4 | x5x_5x5 | θi\theta_iθi |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 151515 | 222 | −3-3−3 | 222 | 111 | 000 | −-− (θ4\theta_4θ4) |
| 000 ( 目标函数 x5x_5x5 系数 c5c_5c5) | x5x_5x5 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | 202020 ( θ5\theta_5θ5 ) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 111 ( σ1\sigma_1σ1 ) | 222 ( σ2\sigma_2σ2 ) | 111 ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | 000 | |||
| 第一次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 757575 | 333 | 000 | 171717 | 111 | 333 | 252525 ( θ4\theta_4θ4 ) |
| 222 ( 目标函数 x2x_2x2 系数 c2c_2c2) | x2x_2x2 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | 606060 (θ2\theta_2θ2) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 13\dfrac{1}{3}31 ( σ1\sigma_1σ1 ) | 000 | −9-9−9 ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | −2-2−2 ( σ5\sigma_5σ5 ) | |||
| 第二次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – |
| 111 ( 目标函数 x1x_1x1 系数 c1c_1c1 ) | x1x_1x1 | 252525 | 111 | 000 | 173\dfrac{17}{3}317 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | ??? ( θ1\theta_1θ1 ) |
| 222 ( 目标函数 x2x_2x2 系数 c2c_2c2) | x2x_2x2 | 353\dfrac{35}{3}335 | 000 | 111 | 289\dfrac{28}{9}928 | −19-\dfrac{1}{9}−91 | 23\dfrac{2}{3}32 | ??? (θ2\theta_2θ2) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 000 | 000 | −989- \dfrac{98}{9}−998 ( σ3\sigma_3σ3 ) | −19- \dfrac{1}{9}−91 ( σ4\sigma_4σ4 ) | −73- \dfrac{7}{3}−37 ( σ5\sigma_5σ5 ) |
三、第二次迭代 : 最优解判定
上述三个检验数 , {σ3=−989σ4=−19σ5=−73\begin{cases} \sigma_3 =- \dfrac{98}{9} \\\\ \sigma_4= - \dfrac{1}{9} \\\\ \sigma_5 = - \dfrac{7}{3} \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧σ3=−998σ4=−91σ5=−37 , 三个检验数都小于等于 000 , 该基可行解是最优解 ;
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