一、单纯形法计算示例 ( 上篇博客回顾总结 )

在上一篇博客【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 线性规划求解示例 ) 博客给出了一个线性规划的示例 , 并进行了查找初始基可行解 , 和判定该基可行解是否是最优解 ;

在目标函数中 , 将基可行解代入目标函数中

不是最优解情况 : 非基变量的系数都是大于 000 的数值 , 该基可行解不是最优解 ;
是最优解情况 : 只有当非基变量的系数都是小于等于 000 的数时 , 该基可行解才是最优解 ;

线性规划标准形式为 :

maxZ=3x1+4x2+0x3+0x4{2x1+x2+x3+0x4=40x1+3x2+0x3+x4=30xj≥0(j=1,2,3,4)\begin{array}{lcl} max Z = 3x_1 + 4x_2 + 0x_3 + 0x_4 \\ \\ \begin{cases} 2 x_1 + x_2 + x_3 + 0x_4 = 40 \\\\ x_1 + 3x_2 + 0x_3 + x_4 = 30 \\\\ x_j \geq 0 & (j = 1 , 2 , 3 , 4 ) \end{cases}\end{array}maxZ=3x1+4x2+0x3+0x4⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧2x1+x2+x3+0x4=40x1+3x2+0x3+x4=30xj≥0(j=1,2,3,4)

单纯形表 :

cjc_jcj	cjc_jcj		333	444	000	000
CBC_BCB 基变量系数 (目标函数)	基变量	常数 bbb	x1x_1x1	x2x_2x2	x3x_3x3	x4x_4x4	θi\theta_iθi
000 ( 目标函数 x3x_3x3 系数 c3c_3c3 )	x3x_3x3	404040	222	111	111	000
000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4)	x4x_4x4	303030	111	333	000	111
		σj\sigma_jσj	333	444	000	000

选择 [1001]\begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ &0 & 1 & \end{bmatrix}⎣⎡1001⎦⎤ 作为基矩阵 , 基变量是 x3x_3x3 , x4x_4x4 , 初始基可行解是 (004030)\begin{pmatrix} \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \quad 40 \quad \\ \quad 30 \quad \\ \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛004030⎠⎟⎟⎞ , 经过计算 , 其目标函数中 x1x_1x1 的系数是 333 , x2x_2x2 的系数是 444 , 都是大于 000 的数 , 该基可行解不是基解 , 继续向下迭代 ;

二、迭代原则

上述解出的基可行解 (004030)\begin{pmatrix} \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \quad 40 \quad \\ \quad 30 \quad \\ \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛004030⎠⎟⎟⎞ 不是最优解 , 那么需要迭代下一个基可行解 , 下面开始讲解 , 如何进行迭代 ;

上述的解中 , 非基变量 x1x_1x1 和 x2x_2x2 取 000 不是最好的选择 , 那么这两个变量最好取非 000 的值 , 求解线性规划的思路是 :

在无穷多个可行解中迭代 , 得到最优解 ;
上述思路可以转化成在有限个基可行解中迭代 , 得到最优解 ;
无限 -> 有限 : 可行解是无限个的 , 基可行解是有限个 ;

三、最优解推导

x1,x2x_1 , x_2x1,x2 取值为 000 不是最优解 , 约束条件要求这两个变量必须大于等于 000

xj≥0(j=1,2,3,4)x_j \geq 0 (j = 1 , 2 , 3 , 4 )xj≥0(j=1,2,3,4)

, 那么只能取值大于 000 , 下面讨论这两个变量取值大于 000 的情况 ;

x1x_1x1 的系数是 333 , x2x_2x2 的系数是 444 , 如果 x3,x4x_3 , x_4x3,x4 取 000 , 目标函数 maxZ=0+3x1+4x2maxZ = 0 + 3x_1 + 4x_2maxZ=0+3x1+4x2 , 将 x1,x2x_1 , x_2x1,x2 任意一个增大 , 其目标函数的值都会增大 ;

增大 x2x_2x2 : 此时可以选择将 x2x_2x2 增大 , x2x_2x2 增加 111 , 目标函数就会增加 444 ;
增大 x1x_1x1 : 也可以选择将 x1x_1x1 增大 , x1x_1x1 增加 111 , 目标函数就会增加 333 , 只要是目标函数随变量增加而增加即可 ;

增大 x2x_2x2 , x2x_2x2 不能无限增大 , 其需要受到 {2x1+x2+x3+0x4=40x1+3x2+0x3+x4=30\begin{cases} 2 x_1 + x_2 + x_3 + 0x_4 = 40 \\\\ x_1 + 3x_2 + 0x_3 + x_4 = 30 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧2x1+x2+x3+0x4=40x1+3x2+0x3+x4=30 约束方程约束 ,

受第一个方程约束 , 增大 x2x_2x2 , 最多是 x1,x3,x4x_1, x_3, x_4x1,x3,x4 都取值 000 , x2x_2x2 理论上最大值时 404040 ;
受第一个方程约束 , 增大 x2x_2x2 , 最多是 x1,x3,x4x_1, x_3, x_4x1,x3,x4 都取值 000 , x2x_2x2 理论上最大值时 101010 ;

x2x_2x2 最大就能取值到 101010 , 否则无法满足第二个约束方程 , 如果 x2x_2x2 取 404040 , 那么在第二个方程中 , 就会出现有变量为负数 , 就不符合约束条件了 , 因此 x2x_2x2 最大只能取到 101010 ;

那么开始增加 x2x_2x2 的值 , 目标函数 maxZ=0+3x1+4x2maxZ = 0 + 3x_1 + 4x_2maxZ=0+3x1+4x2 , 增大 x2x_2x2 , 如果 x2x_2x2 从 000 增加到 101010 , 目标函数可以增加 404040 ,

cjc_jcj	cjc_jcj		333	444	000	000
CBC_BCB 基变量系数 (目标函数)	基变量	常数 bbb	x1x_1x1	x2x_2x2	x3x_3x3	x4x_4x4	θi\theta_iθi
000 ( 目标函数 x3x_3x3 系数 c3c_3c3 )	x3x_3x3	404040	222	111	111	000	404040 ( θ3\theta_3θ3 )
000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4)	x4x_4x4	303030	111	333	000	111	101010 ( θ4\theta_4θ4 )
σj\sigma_jσj			333	444	000	000

四、出基与入基

基可行解 : 选择可行基 , 自然会产生基变量 ( 可行基对应变量 ) , 与非基变量 , 非基变量取值为 000 , 解出基变量 , 此时基变量的解与 000 组合成基可行解 ;

上一次的初始基可行解选择时 , x3x_3x3 和 x4x_4x4 是基变量 , x1x_1x1 和 x2x_2x2 是非基变量 , 非基变量取值必须为 000 ;

如果 x2x_2x2 变成了非 000 取值 , 此时就需要将 x2x_2x2 设置成基变量 ;

基变量的个数是固定的 , 本示例中是 222 个 , 如果将 x2x_2x2 设置成基变量 , 那么就需要将之前的 x3x_3x3 和 x4x_4x4 中其中一个基变量替换成 x2x_2x2 , 被替换的基变量变成非基变量 ;

因此该迭代的过程又称为出基 , 入基过程 ;

出基 : x3,x4x_3 , x_4x3,x4 有一个变量设置成非基变量 , 称为出基 ;
入基 : x2x_2x2 设置成基变量 , 称为入基 ;

五、出基与入基变量选择

入基变量选择 : 具体哪个变量入基 , 是由检验数决定的 , 检验数 σj\sigma_jσj 较大的入基 ; x2x_2x2 的检验数 σ2\sigma_2σ2 是 444 , 大于 σ1=3\sigma_1 = 3σ1=3 , 因此这里选择 x2x_2x2 作为入基变量 ;

出基变量选择 : 系数矩阵中 , 常数列 b=(4030)b =\begin{pmatrix} \quad 40 \quad \\ \quad 30 \quad \end{pmatrix}b=(4030) , 分别除以除以入基变量大于 000 的系数列 (13)\begin{pmatrix} \quad 1 \quad \\ \quad 3 \quad \end{pmatrix}(13) , 得出结果是 (4010)\begin{pmatrix} \quad 40 \quad \\ \quad 10 \quad \end{pmatrix}(4010) , 然后选择一个最小值 101010 , 查看该最小值对应的变量是 x4x_4x4 , 选择该变量作为出基变量 ;

这里将出基变量与入基变量选择好了 , x2x_2x2 的检验数较大 , 选择 x2x_2x2 作为入基变量 , x4x_4x4 的 θ4\theta_4θ4 较小 , 选择 x4x_4x4 作为出基变量 ;

入基出基操作完成后 , 基变量变成了 x3,x2x_3, x_2x3,x2 ;

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