【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 可行解表示 | 目标函数推导 | 目标函数最大值分析 )
文章目录
- 一、基矩阵 + 非基矩阵 约束条件
- 二、基矩阵 + 非基矩阵 线性规划
- 三、线性规划 可行解
- 四、目标函数 推导
- 五、XN=OX_N = OXN=O 目标函数最大 分析
- 六、总结
在上一篇博客 【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法原理 | 单纯形法流程 | 查找初始基可行解 ) 中 , 讲解到了使用单纯形法求解线性规划问题 , 需要解决以下三个主要问题 :
- 查找初始基可行解
- 判定是否是最优解
- 如何迭代
该博客中已经讲解了如何查找初始基可行解 , 查找初始基可行解时 , 优先选择单位阵作为基矩阵 , 单位阵 III 对应的基解 , 必定是基可行解 ;
( 如果没有单位阵 III , 那么后续在讨论 )
本博客开始讲解 , 如何 判定最优解 ( 最优解是如何确定出来的 ) , 和 如何迭代到下一个基可行解 ;
一、基矩阵 + 非基矩阵 约束条件
目标函数 , 用于判定 111 个基可行解是否是最优解 ;
在 【运筹学】线性规划数学模型 ( 求解基矩阵示例 | 矩阵的可逆性 | 线性规划表示为 基矩阵 基向量 非基矩阵 非基向量 形式 ) 博客中 , 根据推导 , 线性规划的约束条件 , 可以表示为 :
BXB+NXN=bBX_B + NX_N = bBXB+NXN=b
二、基矩阵 + 非基矩阵 线性规划
将上述约束条件代入线性规划标准形式中
maxZ=∑j=1ncjxj{∑j=1naijxj=bi(i=1,2⋯m)xj≥0(i=1,2⋯n)\begin{array}{lcl}max Z = \sum_{j=1}^{n}c_j x_j\\ \\ \begin{cases} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j = b_i & (i = 1 , 2 \cdots m) \\ \\x_j \geq 0 & (i = 1 , 2 \cdots n) \end{cases}\end{array}maxZ=∑j=1ncjxj⎩⎪⎨⎪⎧∑j=1naijxj=bixj≥0(i=1,2⋯m)(i=1,2⋯n)
得到如下形式 :
maxZ=CBTXB+CNTXN{BXB+NXN=bxj≥0(i=1,2⋯n)\begin{array}{lcl}max Z = C_B^TX_B + C_N^TX_N \\ \\ \begin{cases} BX_B + NX_N = b \\ \\x_j \geq 0 & (i = 1 , 2 \cdots n) \end{cases}\end{array}maxZ=CBTXB+CNTXN⎩⎪⎨⎪⎧BXB+NXN=bxj≥0(i=1,2⋯n)
假设得到基解 {XB=B−1bXN=O\begin{cases} X_B = B^{-1}b \\ \\X_N = O \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧XB=B−1bXN=O , 其中 OOO 表示零矩阵 , 矩阵张红每个元素的值都是 000 ;
判断该基解 (XBXN)\begin{pmatrix} X_B \\ X_N \\ \end{pmatrix}(XBXN) 是否是最优解 , 需要从目标函数 maxZ=CBTXB+CNTXNmax Z = C_B^TX_B + C_N^TX_NmaxZ=CBTXB+CNTXN 开始分析 ;
三、线性规划 可行解
从现在开始不再讨论基解了 , 回到之前 , 讨论可行解 , XNX_NXN 可以取值任意合法值 , 而不是取 OOO 矩阵值 , 查看取值其它值的时候 , 目标函数是否有最大值 , 这里 重新进行解的推导 :
在 【运筹学】线性规划数学模型 ( 线性规划求解 | 根据非基变量的解得到基变量解 | 基解 | 基可行解 | 可行基 ) 二、根据非基变量的解得到可行解 博客章节 , 在 BXB+NXN=bBX_B + NX_N = bBXB+NXN=b 两端都乘以 B−1B^{-1}B−1 , 然后移项得到了 :
XB=B−1b−B−1NXNX_B = B^{-1}b - B^{-1}NX_NXB=B−1b−B−1NXN
将上述可行解 , 列举出来 :
{XB=B−1b−B−1NXNXN\begin{cases} X_B = B^{-1}b - B^{-1}NX_N \\ \\X_N \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧XB=B−1b−B−1NXNXN
四、目标函数 推导
此时进行判定线性规划可行解 {XB=B−1b−B−1NXNXN\begin{cases} X_B = B^{-1}b - B^{-1}NX_N \\ \\X_N \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧XB=B−1b−B−1NXNXN 中 , XNX_NXN 取值 OOO 矩阵 , 是否是最好的情况 , 即目标函数达到最大值 , 目标函数如下 :
maxZ=CBTXB+CNTXNmax Z = C_B^TX_B + C_N^TX_NmaxZ=CBTXB+CNTXN
将 XB=B−1b−B−1NXNX_B = B^{-1}b - B^{-1}NX_NXB=B−1b−B−1NXN 代入上述目标函数 :
maxZ=CBT(B−1b−B−1NXN)+CNTXN=CBTB−1b−CBTB−1NXN+CNTXN\begin{array}{lcl} max Z &=& C_B^T ( B^{-1}b - B^{-1}NX_N ) + C_N^TX_N \\\\ &=& C_B^T B^{-1}b - C_B^T B^{-1}NX_N + C_N^TX_N \end{array}maxZ==CBT(B−1b−B−1NXN)+CNTXNCBTB−1b−CBTB−1NXN+CNTXN
CBTB−1bC_B^T B^{-1}bCBTB−1b 计算结果是一个数值常量 , 可以写成 b0b_0b0 , 与 XXX ( nnn 个决策变量 ) 无关 ;
=b0+(CNT−CBTB−1N)XN\begin{array}{lcl} &=& b_0 + ( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )X_N \\\\ \end{array}=b0+(CNT−CBTB−1N)XN
之前的基解的策略是 , 将 XNX_NXN 取值为 OOO 零矩阵 , 现在讨论 , 要使上述目标函数 maxZmaxZmaxZ 最大 , 分析 XN=OX_N = OXN=O 是否是最好的选择 , 即分析 XN=OX_N = OXN=O 是否是使 maxZmaxZmaxZ 目标函数最大的值 ;
假设 XNX_NXN 矩阵中的变量值为 (xm+1xm+2⋮xn)\begin{pmatrix} x_{m+1} \\ x_{m+2} \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎛xm+1xm+2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞ , (CNT−CBTB−1N)( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )(CNT−CBTB−1N) 的计算结果是 (σm+1,σm+2,⋯,σn)\begin{pmatrix} \sigma_{m+1} , \sigma_{m+2} , \cdots , \sigma_n \end{pmatrix}(σm+1,σm+2,⋯,σn) , (CNT−CBTB−1N)XN( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )X_N(CNT−CBTB−1N)XN 结果是 σm+1xm+1+σm+2xm+2+⋯+σnxn\sigma_{m+1} x_{m+1} + \sigma_{m+2} x_{m+2} + \cdots + \sigma_{n} x_{n}σm+1xm+1+σm+2xm+2+⋯+σnxn
=b0+(CNT−CBTB−1N)XN=b0+σm+1xm+1+σm+2xm+2+⋯+σnxn\begin{array}{lcl} &=& b_0 + ( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )X_N \\\\ &=& b_0 + \sigma_{m+1} x_{m+1} + \sigma_{m+2} x_{m+2} + \cdots + \sigma_{n} x_{n} \\\\ \end{array}==b0+(CNT−CBTB−1N)XNb0+σm+1xm+1+σm+2xm+2+⋯+σnxn
五、XN=OX_N = OXN=O 目标函数最大 分析
当上述 XNX_NXN 矩阵中的变量值 (xm+1xm+2⋮xn)\begin{pmatrix} x_{m+1} \\ x_{m+2} \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎛xm+1xm+2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞ 都为 000 时 , 假如上述公式取值最大值 , 即
b0+σm+1xm+1+σm+2xm+2+⋯+σnxnb_0 + \sigma_{m+1} x_{m+1} + \sigma_{m+2} x_{m+2} + \cdots + \sigma_{n} x_{n}b0+σm+1xm+1+σm+2xm+2+⋯+σnxn
取值最大值 ;
在线性规划约束条件中 , 所有的变量都是大于等于 000 的 , 每个 xjx_jxj 约束变量取值都可以大于等于 000 , 目前是查看当所有的 xjx_jxj 变量都取值 000 时 , 目标函数达到最大值的情况 ;
当 XNX_NXN 取值等于 OOO 零矩阵时 , 目标函数值等于 b0b_0b0 , 当 XNX_NXN 中有元素取值大于 000 时 , 就会在 b0b_0b0 基础上加上一个值 , 如果这个值是 小于等于 000 的 , 那么对应的 xjx_jxj 取值越大 , 目标函数值越小 ;
因此这里得到 , 在 XN=(xm+1xm+2⋮xn)X_N=\begin{pmatrix} x_{m+1} \\ x_{m+2} \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}XN=⎝⎜⎜⎜⎛xm+1xm+2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞ 非基变量前的系数是小于等于 000 时 , 才能满足当 XNX_NXN 中的元素取值等于 000 时 , 目标函数是最大值 ;
因此
b0+σm+1xm+1+σm+2xm+2+⋯+σnxnb_0 + \sigma_{m+1} x_{m+1} + \sigma_{m+2} x_{m+2} + \cdots + \sigma_{n} x_{n}b0+σm+1xm+1+σm+2xm+2+⋯+σnxn
中的 σm+1,σm+2,⋯,σn\sigma_{m+1} , \sigma_{m+2} , \cdots , \sigma_{n}σm+1,σm+2,⋯,σn 系数值小于等于 000 , 其中每个系数对应的变量 xjx_{j}xj 必定是大于等于 000 的值 , 那么系数 σm+1\sigma_{m+1}σm+1 小于等于 000 时 , 每个变量取值 xj=0x_j = 0xj=0 , 目标函数达到最小值 ;
六、总结
将线性规划约束条件表示为 BXB+NXN=bBX_B + NX_N = bBXB+NXN=b
进行变换后得到 XB=B−1b−B−1NXNX_B = B^{-1}b - B^{-1}NX_NXB=B−1b−B−1NXN
这里可以写出如下可行解 {XB=B−1b−B−1NXNXN\begin{cases} X_B = B^{-1}b - B^{-1}NX_N \\ \\X_N \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧XB=B−1b−B−1NXNXN
将上述可行解代入目标函数 maxZ=CBTXB+CNTXNmax Z = C_B^TX_B + C_N^TX_NmaxZ=CBTXB+CNTXN 中
得到 maxZ=b0+(CNT−CBTB−1N)XNmaxZ = b_0 + ( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )X_NmaxZ=b0+(CNT−CBTB−1N)XN
在该情况下 , 如果 (CNT−CBTB−1N)( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )(CNT−CBTB−1N) 系数小于等于 000 , 当 XNX_NXN 取值为 000 时 , 目标函数得到最大值 ;
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