一、生成函数性质总结

1 . 生成函数线性性质 :

乘法 : bn=αanb_n = \alpha a_nbn=αan , 则 B(x)=αA(x)B(x) = \alpha A(x)B(x)=αA(x)

加法 : cn=an+bnc_n = a_n + b_ncn=an+bn , 则 C(x)=A(x)+B(x)C(x) = A(x) + B(x)C(x)=A(x)+B(x)

2 . 生成函数移位性质 :

向后移位 : b(n)={0,n<lan−l,n≥lb(n) = \begin{cases} 0, & n < l \\\\ a_{n-l}, & n \geq l \end{cases}b(n)=⎩⎪⎨⎪⎧0,an−l,n<ln≥l , 则 B(x)=xlA(x)B(x) = x^l A(x)B(x)=xlA(x)

向前移位 : bn=an+1b_n = a_{n+1}bn=an+1 , 则 B(x)=A(x)−∑n=0l−1anxnxlB(x) = \cfrac{A(x) - \sum\limits_{n=0}^{l-1} a_nx^n }{x^l}B(x)=xlA(x)−n=0∑l−1anxn

3 . 生成函数乘积性质 : cn=∑i=0naibn−ic_n = \sum\limits_{i=0}^n a_i b_{n-i}cn=i=0∑naibn−i , 则有 C(x)=A(x)⋅B(x)C(x) = A(x) \cdot B(x)C(x)=A(x)⋅B(x)

生成函数求和性质 :

向前求和 : bn=∑i=0naib_n = \sum\limits_{i=0}^{n}a_ibn=i=0∑nai , 则 B(x)=A(x)1−xB(x) = \cfrac{A(x)}{1-x}B(x)=1−xA(x)

向后求和 : bn=∑i=n∞aib_n = \sum\limits_{i=n}^{\infty}a_ibn=i=n∑∞ai , 并且 A(1)=∑i=n∞aiA(1) =\sum\limits_{i=n}^{\infty}a_iA(1)=i=n∑∞ai 收敛 , 则 B(x)=A(1)−xA(x)1−xB(x) = \cfrac{A(1) - xA(x)}{1-x}B(x)=1−xA(1)−xA(x)

4 . 生成函数换元性质 : bn=αnanb_n = \alpha^n a_nbn=αnan , 则 B(x)=A(αx)B(x) =A( \alpha x)B(x)=A(αx)

5 . 生成函数求导性质 : bn=nanb_n = n a_nbn=nan , 则 B(x)=xA′(x)B(x) =xA'( x)B(x)=xA′(x)

6 . 生成函数积分性质 : bn=ann+1b_n = \cfrac{a_n}{n+1}bn=n+1an , 则 B(x)=1x∫0xA(x)dxB(x) =\cfrac{1}{x} \int^{x}_{0} A( x)dxB(x)=x1∫0xA(x)dx

二、生成函数与序列的对应

给定序列 {an}\{a_n\}{an} 或 ana_nan 的递推方程 , 求生成函数 G(x)G(x)G(x) , 需要使用级数的性质和一些重要的级数 ;

常用的生成函数取值 :

111 数列相关 :

{an}\{a_n\}{an} , an=1na_n = 1^nan=1n ; A(x)=∑n=0∞xn=11−x\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \end{aligned}A(x)=n=0∑∞xn=1−x1

{an}\{a_n\}{an} , an=(−1)na_n = (-1)^nan=(−1)n ; A(x)=∑n=0∞(−1)nxn=11+x\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = \frac{1}{1+x} \end{aligned}A(x)=n=0∑∞(−1)nxn=1+x1

{an}\{a_n\}{an} , an=kna_n = k^nan=kn , kkk 为正整数 ; A(x)=∑n=0∞knxn=11−kx\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} k^n x^n = \frac{1}{1-kx} \end{aligned}A(x)=n=0∑∞knxn=1−kx1

二项式系数相关 :

{an}\{a_n\}{an} , an=(mn)a_n = \dbinom{m}{n}an=(nm) ; A(x)=∑n=0∞(mn)xn=(1+x)m\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{m}{n} x^n = ( 1 + x ) ^m \end{aligned}A(x)=n=0∑∞(nm)xn=(1+x)m

组合数相关 :

{an}\{a_n\}{an} , an=(m+n−1n)a_n = \dbinom{m+n-1}{n}an=(nm+n−1) , m,nm,nm,n 为正整数 ; A(x)=∑n=0∞(m+n−1n)xn=1(1−x)m\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{m+n-1}{n} x^n = \frac{1}{{(1-x)}^m} \end{aligned}A(x)=n=0∑∞(nm+n−1)xn=(1−x)m1

{an}\{a_n\}{an} , an=(−1)n(m+n−1n)a_n = (-1)^n \dbinom{m+n-1}{n}an=(−1)n(nm+n−1) , m,nm,nm,n 为正整数 ; A(x)=∑n=0∞(−1)n(m+n−1n)xn=1(1+x)m\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dbinom{m+n-1}{n} x^n = \frac{1}{{(1+x)}^m} \end{aligned}A(x)=n=0∑∞(−1)n(nm+n−1)xn=(1+x)m1

{an}\{a_n\}{an} , an=(n+1n)a_n = \dbinom{n+1}{n}an=(nn+1) , nnn 为正整数 ;
A(x)=∑n=0∞(n+1n)xn=∑n=0∞(n+1)xn=1(1−x)2\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{n+1}{n} x^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n \\ & = \frac{1}{{(1-x)}^2} \end{aligned}A(x)=n=0∑∞(nn+1)xn=n=0∑∞(n+1)xn=(1−x)21

【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★相关推荐

【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数性质 | 指数生成函数求解多重集排列 )
文章目录一.指数生成函数性质二.指数生成函数求解多重集排列参考博客 : 按照顺序看 [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | ...
【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 )
文章目录一.给定级数求生成函数二.给定生成函数求级数参考博客 : [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 ...
【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数概念 | 排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数 | 指数生成函数示例 )
文章目录一.指数生成函数二.排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数三.指数生成函数示例参考博客 : 按照顺序看 [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常 ...
离散数学/组合数学：序列与其对应的生成函数；多项式函数的系数与序列的联系；重复组合数的理解方法即----全1序列对应的生成函数做n重卷积（不严谨说法）之后得到的序列的x的k次方项的系数；莫比乌斯反演。
继我所写的文章 "迭代.递归.栈.差分方程之间的本质联系以及由推广的迭代法解决"变态青蛙跳台阶"问题" 结束之后,自然的引出一个问题,就是关于如果真的给定k项之 ...
【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数求解多重集排列示例 2 )
文章目录一.指数生成函数求解多重集排列示例 2 参考博客 : 按照顺序看 [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相 ...
【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数求解多重集排列示例 )
文章目录一.指数生成函数求解多重集排列示例参考博客 : 按照顺序看 [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 ...
【组合数学】指数生成函数 ( 证明指数生成函数求解多重集排列 )
文章目录一.证明指数生成函数求解多重集排列参考博客 : 按照顺序看 [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 ...
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 重复有序拆分 | 不重复有序拆分 | 重复有序拆分方案数证明 )
文章目录一.重复有序拆分二.不重复有序拆分 1.无序拆分基本模型 2.全排列三.重复有序拆分方案数证明参考博客 : 按照顺序看 [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式 ...
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 正整数拆分基本模型 | 有限制条件的无序拆分 )
文章目录一.正整数拆分基本模型二.有限制条件的无序拆分参考博客 : [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 ...

【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★

文章目录

一、生成函数性质总结

二、生成函数与序列的对应

【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★相关推荐

最新文章

热门文章