文章目录

一、重复有序拆分
二、不重复有序拆分
- 1、无序拆分基本模型
- 2、全排列
三、重复有序拆分方案数证明

参考博客 : 按照顺序看

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【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
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【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序 | 有序 | 允许重复 | 不允许重复 | 无序不重复拆分 | 无序重复拆分 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序不重复拆分示例 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 正整数拆分基本模型 | 有限制条件的无序拆分 )

一、重复有序拆分

将正整数 NNN 重复地 , 有序拆分成 rrr 部分 , 方案数为 C(N−1,r−1)C(N-1, r-1)C(N−1,r−1) ★

( 三、中有该组合数由来证明 )

如果对正整数 NNN 作任意重复的有序拆分 , 即可以拆分成 111 个数 , 222 个数 , ⋯\cdots⋯ , NNN 个数 ,

拆分成 111 个数方案个数是 (N−11−1)\dbinom{N-1}{1-1}(1−1N−1)

拆分成 222 个数方案个数是 (N−12−1)\dbinom{N-1}{2-1}(2−1N−1)

⋮\vdots⋮

拆分成 NNN 个数方案个数是 (N−1N−1)\dbinom{N-1}{N-1}(N−1N−1)

上述总的方案个数是 : ∑r=1N=2N−1\sum\limits_{r=1}^{N}=2^{N-1}r=1∑N=2N−1

( 根据基本组合恒等式计算出来 )

二、不重复有序拆分

先进行不重复无序拆分 , 再进行全排列 ;

1、无序拆分基本模型

无序拆分基本模型 :

将正整数 NNN 无序拆分成正整数 , a1,a2,⋯,ana_1, a_2, \cdots , a_na1,a2,⋯,an 是拆分后的 nnn 个数 ,

该拆分是无序的 , 上述拆分的 nnn 个数的个数可能是不一样的 ,

假设 a1a_1a1 有 x1x_1x1 个 , a2a_2a2 有 x2x_2x2 个 , ⋯\cdots⋯ , ana_nan 有 xnx_nxn 个 , 那么有如下方程 :

a1x1+a2x2+⋯+anxn=Na_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = Na1x1+a2x2+⋯+anxn=N

这种形式可以使用不定方程非负整数解个数的生成函数计算 , 是带系数 , 带限制条件的情况 , 参考 : 组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )

无序拆分的情况下 , 拆分后的正整数 , 允许重复和不允许重复 , 是两类组合问题 ;

如果不允许重复 , 那么这些 xix_ixi 的取值 , 只能取值 0,10, 10,1 ; 相当于带限制条件 , 带系数的不定方程非负整数解的情况 ;

对应的生成函数是 : G(x)=(1+ya1)(1+ya2)⋯(1+yan)G(x) = (1+ y^{a_1}) (1+ y^{a_2}) \cdots (1+ y^{a_n})G(x)=(1+ya1)(1+ya2)⋯(1+yan) ★ 重点看这里

如果允许重复 , 那么这些 xix_ixi 的取值 , 就是自然数 ; 相当于带系数的不定方程非负整数解的情况 ;

对应的生成函数是 : G(x)=(1+ya1+y2a1⋯)(1+ya2+y2a2⋯)⋯(1+yan+y2an⋯)G(x) = (1+ y^{a_1}+ y^{2a_1}\cdots) (1+ y^{a_2} + y^{2a_2}\cdots) \cdots (1+ y^{a_n}+ y^{2a_n}\cdots )G(x)=(1+ya1+y2a1⋯)(1+ya2+y2a2⋯)⋯(1+yan+y2an⋯)

或 G(x)=1(1−ya1)(1−ya2)⋯(1−yan)G(x) =\cfrac{1}{ (1-y^{a_1}) (1-y^{a_2}) \cdots (1-y^{a_n}) }G(x)=(1−ya1)(1−ya2)⋯(1−yan)1

2、全排列

nnn 的全排列是 n!n!n!

nnn 元集 SSS , 从 SSS 集合中选取 rrr 个元素 ;

根据元素是否允许重复 , 选取过程是否有序 , 将选取问题分为四个子类型 :

	元素不重复	元素可以重复
有序选取	集合排列 P(n,r)P(n,r)P(n,r)	多重集排列
无序选取	集合组合 C(n,r)C(n,r)C(n,r)	多重集组合

选取问题中 :

不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列 ; P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}P(n,r)=(n−r)!n!
不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合 ; C(n,r)=P(n,r)r!=n!r!(n−r)!C(n,r) = \dfrac{P(n,r)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}C(n,r)=r!P(n,r)=r!(n−r)!n!
可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列 ; 全排列=n!n1!n2!⋯nk!全排列 = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}全排列=n1!n2!⋯nk!n! , 非全排列 kr,r≤nik^r , \ \ r\leq n_ikr, r≤ni
可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合 ; N=C(k+r−1,r)N= C(k + r - 1, r)N=C(k+r−1,r)

三、重复有序拆分方案数证明

使用一一对应的方法证明 : 将正整数 NNN 重复地 , 有序拆分成 rrr 部分 , 方案数为 C(N−1,r−1)C(N-1, r-1)C(N−1,r−1) ★

拆分后的正整数 , 如果交换了次序之后 , 排列不同 , 其所代表的方案数也不同 ;

将该拆分转换成组合计数问题 ;

假设 N=a1+a2+⋯+arN=a_1 + a_2 + \cdots + a_rN=a1+a2+⋯+ar 是满足条件的拆分 , 该拆分重复 , 有序 ;

将上述方案 , 做成部分序列 ,

拆分方案与拆分序列 :

根据拆分方案写出拆分序列 :

原始方案 6=1+2+36=1+2+36=1+2+3 , 由原始方案作部分序列 ,

第一个序列 S1=1S_1 = 1S1=1 , 取原始方案的第一个成分 111 出来 ,

第二个序列 S2=1+2=3S_2 = 1 + 2 = 3S2=1+2=3 , 取原始方案的前两个成分 1+21 + 21+2 出来 ,

第三个序列 S3=1+2+3=6S_3 = 1 + 2 + 3 = 6S3=1+2+3=6 , 取原始方案的前三个成分 1+2+31 + 2 + 31+2+3 出来 ,

第一个序列是第一个数 , 第二个序列是前两个数 , 第 nnn 个序列是前 nnn 个数 , 最后一个序列包含了所有的拆分的正整数 ;

只要给定一个原始方案 , 就可以作出上述部分序列出来 ;

只要方案相同 , 作出的序列完全相同 , 方案不同 , 作出的序列肯定不相同 ;

根据拆分序列写出拆分方案 :

反之 , 给定一个序列 , 可以还原出一个拆分方案来 , 如给出序列 S1=1,S2=3,S3=6S_1 = 1 , S_2=3, S_3=6S1=1,S2=3,S3=6 , 对应的拆分方案 :

最后一个序列式所有数之和 , 被拆分的正整数就是最后一个序列的数值 666

第一个正整数就是第一个序列 111

第二个正整数是第二序列减去第一序列 S2−S1=3−1=2S_2 - S_1 = 3-1=2S2−S1=3−1=2

第三个正整数是第三序列减去第二序列 S3−S2=6−3=3S_3-S_2=6-3=3S3−S2=6−3=3

拆分方案是 6=1+2+36 = 1+2+36=1+2+3

N=a1+a2+⋯+arN=a_1 + a_2 + \cdots + a_rN=a1+a2+⋯+ar 的拆分序列是

S1=a1S_1 = a_1S1=a1

S2=a1+a2S_2= a_1 + a_2S2=a1+a2

S3=a1+a2+a3S_3= a_1 + a_2 + a_3S3=a1+a2+a3

⋮\vdots⋮

Si=a1+a2+a3+⋯+ai=∑k=1tai,i=1,2,3,⋯S_i= a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_i = \sum\limits_{k=1}^ta_i\ , \ \ \ \ \ i=1,2,3, \cdotsSi=a1+a2+a3+⋯+ai=k=1∑tai , i=1,2,3,⋯

上述的拆分序列一定有下面的性质 :

0<S1<S2<⋯<Sr=N0 < S_1 < S_2 < \cdots < S_r = N0<S1<S2<⋯<Sr=N

因为 S2S_2S2 肯定是 S1S_1S1 加上一个正整数 , SrS_rSr 肯定是 Sr−1S_{r-1}Sr−1 加上一个正整数 , 最后一项是所有的 rrr 个正整数之和 , 是被拆分的正整数 NNN ;

上述拆分序列 S1,S2,⋯,SrS_1, S_2, \cdots , S_rS1,S2,⋯,Sr , 最后一个数 Sr=NS_r = NSr=N ,

最后一个数不管 , 前面的 r−1r-1r−1 个数的取值范围是 1,2,3,⋯,N−11, 2, 3, \cdots , N-11,2,3,⋯,N−1 , 上述取值范围内有 n−1n-1n−1 个正整数 ;

从 n−1n-1n−1 个正整数中 , 选取 r−1r-1r−1 个正整数 ,

因此, 将正整数 NNN 重复地 , 有序拆分成 rrr 部分 , 方案数为 C(N−1,r−1)C(N-1, r-1)C(N−1,r−1) ★

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