本文是 2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案 的内容。

▌第二道题

2. 已知 f1(t)=e−t2⋅u(t),f2(t)=u(t)−u(t−2)f_1 \left( t \right) = e^{ - {t \over 2}} \cdot u\left( t \right),\;\;f_2 \left( t \right) = u\left( t \right) - u\left( {t - 2} \right)f1(t)=e−2t⋅u(t),f2(t)=u(t)−u(t−2) ，求卷积积分：f(t)=f1(t)∗f2(t)f\left( t \right) = f_1 \left( t \right) * f_2 \left( t \right)f(t)=f1(t)∗f2(t)并大致绘制出卷积信号波形。

注：根据卷积图解方法中的示例慢慢求解吧。

▌求解

解：

f1(t),f2(t)f_1 \left( t \right),f_2 \left( t \right)f1(t),f2(t)的波形如下图所示：

令 f1u(t)=f1(t)∗u(t)f_{1u} \left( t \right) = f_1 \left( t \right) * u\left( t \right)f1u(t)=f1(t)∗u(t)，那么 f1u(t−2)=f1(t)∗u(t−2)f_{1u} \left( {t - 2} \right) = f_1 \left( t \right) * u\left( {t - 2} \right)f1u(t−2)=f1(t)∗u(t−2)。所以：

f1(t)∗f2(t)=f1(t)∗[u(t)−u(t−2)]=f1u(t)−f1u(t−2)f_1 \left( t \right) * f_2 \left( t \right) = f_1 \left( t \right) * \left[ {u\left( t \right) - u\left( {t - 2} \right)} \right] = f_{1u} \left( t \right) - f_{1u} \left( {t - 2} \right)f1(t)∗f2(t)=f1(t)∗[u(t)−u(t−2)]=f1u(t)−f1u(t−2)

下面首先计算f1u(t)f_{1u} \left( t \right)f1u(t)：

f1u(t)=e−12t∗u(t)=∫−∞te−τ2dτ=−2e−t2∣0t=2(1−e−t2)f_{1u} \left( t \right) = e^{ - {1 \over 2}t} * u\left( t \right) = \int_{ - \infty }^t {e^{ - {\tau \over 2}} d\tau } = \left. { - 2e^{ - {t \over 2}} } \right|_0^t = 2\left( {1 - e^{ - {t \over 2}} } \right)f1u(t)=e−21t∗u(t)=∫−∞te−2τdτ=−2e−2t∣∣∣0t=2(1−e−2t)

那么：f1(t)∗[u(t)−u(t−2)]=2(1−e−t2)⋅u(t)−2(1−e−t−22)⋅u(t−2)f_1 \left( t \right) * \left[ {u\left( t \right) - u\left( {t - 2} \right)} \right] = 2\left( {1 - e^{ - {t \over 2}} } \right) \cdot u\left( t \right) - 2\left( {1 - e^{ - {{t - 2} \over 2}} } \right) \cdot u\left( {t - 2} \right)f1(t)∗[u(t)−u(t−2)]=2(1−e−2t)⋅u(t)−2(1−e−2t−2)⋅u(t−2)

使用Python绘制

下面使用Python绘制的f1(t),f2(t)f_1 \left( t \right),f_2 \left( t \right)f1(t),f2(t)波形：

^{▲ f1(t),f2(t) 波形}

▌附件

1.绘制程序

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2021-03-17
#
# Note:
#============================================================from headm import *t = linspace(-1, 10, 10000)def fwin(t, t1, t2):return heaviside(t - t1, 0.5) - heaviside(t-t2, 0.5)def ff1u(t):return 2*(1-exp(-t/2)) * heaviside(t, 0.5)f1u = ff1u(t)
f1u2 = ff1u(t-2)
f12 = f1u - f1u2plt.plot(t, f1u, linewidth=1, label='f1u(t)')
plt.plot(t, -f1u2, linewidth=1, label='f1u(t-2)')
plt.plot(t, f12, linewidth=2, label='f1*f2')
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f1(t),f2(t)")
plt.grid(True)
plt.legend(loc="upper left")
plt.tight_layout()
plt.show()#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

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2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案-MATLAB实验1
2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案-MATLAB实验题2

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