本文是 2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案 的内容。

▌第五道题

5. 某地质勘探测试设备给出的发射信号：
x[n]=δ[n]+12δ[n−1]x\left[ n \right] = \delta \left[ n \right] + {1 \over 2}\delta \left[ {n - 1} \right]x[n]=δ[n]+21δ[n−1]
接收回波信号为：y[n]=(12)n⋅u[n]y\left[ n \right] = \left( {{1 \over 2}} \right)^n \cdot u\left[ n \right]y[n]=(21)n⋅u[n]
若底层反射特性的系统函数以h[n]h\left[ n \right]h[n]表示，且满足y[n]=h[n]∗x[n]y\left[ n \right] = h\left[ n \right] * x\left[ n \right]y[n]=h[n]∗x[n]。
（1）求h[n]h\left[ n \right]h[n]；
（2）以延迟、相加、倍乘运算为基本单元，试画出系统方框图。

提示：看课件。

本题为思考题

▌求解

解：

（1）求h[n]

利用离散序列的反卷积算法，依次求出h[n]h\left[ n \right]h[n]前若干项，并进行归纳出统一工具：

h[0]=y[0]/x[0]=1h\left[ 0 \right] = y\left[ 0 \right]/x\left[ 0 \right] = 1h[0]=y[0]/x[0]=1h[1]={y[1]−h[0]x[1]}/x[0]=12−12=0h\left[ 1 \right] = \left\{ {y\left[ 1 \right] - h\left[ 0 \right]x\left[ 1 \right]} \right\}/x\left[ 0 \right] = {1 \over 2} - {1 \over 2} = 0h[1]={y[1]−h[0]x[1]}/x[0]=21−21=0h[2]={y[2]−h[0]x[2]−h[1]x[1]}/x[0]=(12)2h\left[ 2 \right] = \left\{ {y\left[ 2 \right] - h\left[ 0 \right]x\left[ 2 \right] - h\left[ 1 \right]x\left[ 1 \right]} \right\}/x\left[ 0 \right] = \left( {{1 \over 2}} \right)^2h[2]={y[2]−h[0]x[2]−h[1]x[1]}/x[0]=(21)2h[3]={y[3]−h[0]x[3]−h[1]x[2]−h[2]x[1]}/x[0]=0h\left[ 3 \right] = \left\{ {y\left[ 3 \right] - h\left[ 0 \right]x\left[ 3 \right] - h\left[ 1 \right]x\left[ 2 \right] - h\left[ 2 \right]x\left[ 1 \right]} \right\}/x\left[ 0 \right] = 0h[3]={y[3]−h[0]x[3]−h[1]x[2]−h[2]x[1]}/x[0]=0.....................

（2）推导h[n]对应差分方程

h[n]={y[n]−∑m=0n−1h[m]x[n−m]}/x[0]h\left[ n \right] = \left\{ {y\left[ n \right] - \sum\limits_{m = 0}^{n - 1} {h\left[ m \right]x\left[ {n - m} \right]} } \right\}/x\left[ 0 \right]h[n]={y[n]−m=0∑n−1h[m]x[n−m]}/x[0]=(12)nu[n]−∑m=0n−1h[m]{δ[n−m]+12δ[n−m−1]}= \left( {{1 \over 2}} \right)^n u\left[ n \right] - \sum\limits_{m = 0}^{n - 1} {h\left[ m \right]\left\{ {\delta \left[ {n - m} \right] + {1 \over 2}\delta \left[ {n - m - 1} \right]} \right\}}=(21)nu[n]−m=0∑n−1h[m]{δ[n−m]+21δ[n−m−1]}=(12)nu[n]−12h[n−1]= \left( {{1 \over 2}} \right)^n u\left[ n \right] - {1 \over 2}h\left[ {n - 1} \right]=(21)nu[n]−21h[n−1]

h[n]+12h[n−1]=(12)nu[n]h\left[ n \right] + {1 \over 2}h\left[ {n - 1} \right] = \left( {{1 \over 2}} \right)^n u\left[ n \right]h[n]+21h[n−1]=(21)nu[n]

12h[n]+12⋅12h[n−1]=12(12)nu[n]{1 \over 2}h\left[ n \right] + {1 \over 2} \cdot {1 \over 2}h\left[ {n - 1} \right] = {1 \over 2}\left( {{1 \over 2}} \right)^n u\left[ n \right]21h[n]+21⋅21h[n−1]=21(21)nu[n]

y[n]−14y[n−2]=x[n]y\left[ n \right] - {1 \over 4}y\left[ {n - 2} \right] = x\left[ n \right]y[n]−41y[n−2]=x[n]

h[n]−14h[n−2]=δ[n]h\left[ n \right] - {1 \over 4}h\left[ {n - 2} \right] = \delta \left[ n \right]h[n]−41h[n−2]=δ[n]

根据差分方程绘制出系统框图如下：

▌附件

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2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案-MATLAB实验1
2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案-MATLAB实验题2

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解：

（1）求h[n]

（2）推导h[n]对应差分方程

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