▌01 选择题分析

1.卷积计算选择题

这本来是信号与系统一道选择题目。

（1）选择题目

题目为：请选择一个三角脉冲信号与其自身卷积之后对应的波形是什么？

^{▲ 选择题}

（2）分析过程

可以根据卷积的图解法帮助分析卷积的阶段。从信号与其自身卷积重叠的过程来看，整个卷积过程可以分范围六个阶段。下图显示了其中最初的三个阶段：

阶段一： t<−1t < - 1t<−1，两个三角形不重叠；
阶段二： −1<t<−12- 1 < t < - {1 \over 2}−1<t<−21，两个三角形部分重叠；
阶段三： −12<t<0- {1 \over 2} < t < 0−21<t<0，两个三角形大部分重叠。

注意阶段二、阶段三两个阶段对应的三角形重叠的方式并不相同。从 t>0t > 0t>0 之后，两个三角形重叠的情况分别于阶段三、阶段二、阶段一相同。因此，卷积结果应该是左右对称。

阶段一对应的卷积结果为0；阶段二对应的卷积结果是一个三次多项式；阶段三分析比较复杂。

^{▲ 求解分析过程}

那么，座位选择题，如何来在不进行求解的情况下，来判断结果呢？

可以通过排除方法来进行选择。

首先，根据f(t)∗δ(t)=f(t)f\left( t \right) * \delta \left( t \right) = f\left( t \right)f(t)∗δ(t)=f(t)，所以，只有与δ(t)\delta \left( t \right)δ(t)卷积，信号的波形才不会发生变化，所以选择（a）可以被排除；

根据刚才分析，两个三角形卷积，整个阶段应该分为六个阶段。（b）的结果只是显示了四个阶段（0，上升，下降，0），所以是错误的の；

根据前面分析，当两个三角形在开始重叠的时候，它的上升应该是高次多项式（三次函数），卷积结果曲线应该是下凹，而不是上凸，所以可以排除（d）。

最终可以判断只有（c）应该是正确的选择。

2.算计仿真结果

下面通过计算仿真来验证前面确定的结果。

使用Python编程形成窗口信号：

u(t+0.25)−u(t−0.25)u\left( {t + 0.25} \right) - u\left( {t - 0.25} \right)u(t+0.25)−u(t−0.25)

^{▲ Window function f(t)}

这个窗口信号与自身进行卷积

^{▲ 三角脉冲信号}

^{▲ 三角形与三角形卷积后的结果}

通过上面仿真结果来看，的确验证了前面分析的正确性。

▌附件

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2021-03-29
#
# Note:
#============================================================from headm import *def windowf(t, t1, t2):return (heaviside(t-t1, 0.5) - heaviside(t-t2, 0.5))t = linspace(-2, 2, 10000)
wt = windowf(t, -.25, .25)
twt = convolve(wt,wt, 'same') * 4 / len(t)
ttwt = convolve(twt,twt, 'same') * 4/len(t)plt.plot(t, ttwt)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

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