生成树、最小生成树的一些性质以及邻域的概念

设一个无向连通图G=(V,E)，顶点个数记作m，边的数量为n。其对应的最小生成树记作f。

则生成树T的性质有：

边数量为m-1
没有圈
加入任何一条边都会形成一个圈

对于一颗生成树T，定义

操作：在其上添加一条边，并在产生的圈里删除一条边，则：其仍然为一棵树。

邻域：对于一个生成树T，执行一次上述操作所得到新的生成树T’称之为T的邻居，这些所有邻居和它自己一起构成T的邻域。

精确：如果一个解是局部（邻域）最优解，那么其也是全局最优解，那么称这个邻域是精确的。

定理1：树A和B是无向图的两个生成树，则A可以通过若干次操作变成B。

证：把树看作边的集合，如果B中有一条A没有的边，则把这条边加到A上，A产生一个圈中至少有一条是B中没有的边，把这条边删掉，则A仍然是生成树，但是此时：A,B集合相同的边多了一条，重复这个过程直到A B包含的边相同。

定理2：上述操作所产生的T的邻域是精确的。

证：由于其是“如果一棵生成树不是最小生成树，则一定存在一个操作，使得操作之后，它的总权值减小。”的逆否命题。所以我们证明这个命题即可。

设A不是最小生成树，A的边按权值递增排序后为e1,e2,⋯,em−1e_1,e_2,\cdots,e_{m-1}e1,e2,⋯,em−1，且有：w(e1)≤w(e2)≤⋯≤w(em−1)w(e_1)≤w(e_2)≤\cdots \le w(e_{m-1})w(e1)≤w(e2)≤⋯≤w(em−1)。

假设A的前iii条边e1,e2,⋯,eie_1,e_2,\cdots,e_ie1,e2,⋯,ei都是最优的，即如果使用Kruskal算法来构造，前iii条边的权值也是这些。直到第j=i+1j=i+1j=i+1次时，瞎了眼，选错了，有w(ej)<w(ej′)w(e_j)<w (e'_j)w(ej)<w(ej′)(ej′e'_jej′表示利用Kruskal算法选出来的第jjj条边）,后面不再管了，随便怎么生成，反正由于权值递增关系，这一个生成树一定不是最小生成树了，因为ej′e'_jej′不在A中。

那考虑把ej′e'_jej′加入到A中，必会形成一个圈。（证明的难点在于此）且这个圈中必有比ej′e'_jej′更大的边，从而将任何一个更大的边删除都可以减小总权值，证毕。

难点解释：反证法，如果全部都不比ej′e'_jej′大，即举个例子如下：

假设浅绿色为生成树A，加入ej′e'_jej′后形成了红色中的一个圈，如果该圈中其他的边大小都是小于等于ej′e'_jej′的，那么按照Kruskal算法，又怎么会想要在第jjj次加入ej′e'_jej′呢？Kruskal算法是不会形成圈的。所以矛盾，推知含有比ej′e'_jej′大的边。

拓展——邻域的其他应用。

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