0-1背包问题：输出最小背包

如何输出最小背包？

0-1背包

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int dp[maxn][maxn];
int weight[maxn];
int value[maxn];
int n,v;
int max(int a,int b){if(a>b) return a;return b;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{int T;cin>>T;while(T--){cin>>n>>v;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>value[i];}for(int i=1;i<=n;i++){cin>>weight[i];}memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=v;j>=weight[i];j--){dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);}}int out=dp[1][v];for(int k=2;k<=n;k++)out = max(out,dp[k][v]);cout<<out<<endl;}/* code */return 0;
}

其中i表示放第i个物品，j表示背包所容纳的重量，那么tab[i-1][j-weight[i]]+value[i]表示放入第i物品，刚开始接触会有疑问，tab[i-1][j-weight[i]]这个值，可以这样理解：tab[i-1][j]为装到上一个物品在背包j容量时的最佳值，那么如果我要求在j容量的时候放入现在的i物品的价值，那么是不是要先得到容量为（j-weight[i]）时候的价值，即先得到 tab[i-1][j-weight[i]] ，所以 tab[i-1][j-weight[i]]+value[i] 为放入第i物品的价值； tab[i-1][j] 就是不放入第i个物品。

但是以上的做法是错误的

由于这样只更新了j>W[i]的情况，对于下一件物品，如果它的W[i+1]<[i],那么很可能这个W[i][j]为O,这就会导致错误

所以下标只能从J=O开始

for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j>=weight[i];j--){

<span style="white-space:pre">              </span>if(j<w[i]) dp[i][j]=dp[i-1][j]
<span style="white-space:pre">             </span>else<span style="white-space:pre">                </span>

             dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);}}

优化空间复杂度以后

#include <iostream>
const int maxn=1005;
using namespace std;
int weight[maxn];
int value[maxn];
int dp[maxn];
int max(int a,int b){return a>b?a:b;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{int T;cin>>T;int N,V;while(T--){cin>>N>>V;for(int i=0;i<N;i++){cin>>value[i];}for(int i=0;i<N;i++){cin>>weight[i];}memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=0;i<N;i++){for(int j=V;j>=weight[i];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);}}cout<<dp[V]<<endl;}/* code */return 0;
}

为什么从后面到前面？因为后面到前面不会影响前面的状态。如果是从前到后，可能包含了一个物品取多个的情况。

事实上，从前往后正是完全背包的做法

明确状态转移方程的意义。状态转移在与是否取第M个物品，如果取第M个物品，那么这个位置就标为M，用一个chose数组记录是否选取M，然后通过回溯确定某个位置是否为1

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=10005;
int dp[maxn];
int w[maxn];
int v[maxn];
bool chose[maxn][maxn];
int max(int a,int b){return a>b?a:b;
}
int out[maxn];
int indexofout;
void print(int m,int v){if(m==0) return ;if(!chose[m][v])print(m-1,v);else {out[indexofout++]=m;print(m-1,v-w[m]);}
}
int main(int argc, char const *argv[])
{int N,V;int T;cin>>T;while(T--){cin>>N>>V;indexofout = 0;memset(dp,0,sizeof(dp));memset(chose,false,sizeof(chose));for(int i=1;i<=N;i++){cin>>v[i];}for(int i=1;i<=N;i++){cin>>w[i];}for(int i=1;i<=N;i++){for(int j=V;j>=w[i];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);if(dp[j]==dp[j-w[i]]+v[i]) chose[i][j]=true;}}print(N,V);for(int i=0;i<indexofout;i++){cout<<out[i]<<" ";}cout<<endl;cout<<dp[V]<<endl;}return 0;
}

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