本文是 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案 中的参考答案。

▌第三道题

3. 把x[n]x\left[ n \right]x[n]升液体AAA和100−x[n]100 - x\left[ n \right]100−x[n]升液体BBB都倒入一个容易中，假设x[n]<100x\left[ n \right] < 100x[n]<100。该容器已经有900升A与B的混合液。均匀混合后，再从容器倒出100 升混合液。如此重复上述过程，在第n个循环结束时，若A在混合液的所占百分比为y[n]y\left[ n \right]y[n]。

(1) 试列写出x[n],y[n]x\left[ n \right],y\left[ n \right]x[n],y[n]之间的差分方程;

(2) 如果已知x[n]=50,y[0]=0x\left[ n \right] = 50,\,y\left[ 0 \right] = 0x[n]=50,y[0]=0。求解y[n]y\left[ n \right]y[n];

(3) 指出其中的自由分量和强迫分量；

(4) 当n→∞n \to \inftyn→∞时，y[n]y\left[ n \right]y[n]为多少？

求解：

（1）第一小问

如果y[n]表示第n个循环结束时，A在混合液中所占的比例，则y[n-1]表示在第n-1个循环结束是A在混合液中所占的比例，根据题意可得：

900⋅y[n−1]+x[n]1000=y[n]{{900 \cdot y\left[ {n - 1} \right] + x\left[ n \right]} \over {1000}} = y\left[ n \right]1000900⋅y[n−1]+x[n]=y[n]

化简可以得到：
1000⋅y[n]−900⋅yh[n−1]=x[n]1000 \cdot y\left[ n \right] - 900 \cdot yh\left[ {n - 1} \right] = x\left[ n \right]1000⋅y[n]−900⋅yh[n−1]=x[n]

（2）第二小问

通过求解特征方程，得到特征根为0.9，所以差分方程的齐次解为：yh[n]=C⋅0.9ny_h \left[ n \right] = C \cdot 0.9^nyh[n]=C⋅0.9n

设特解为：yp[n]=Dy_p \left[ n \right] = Dyp[n]=D。代入差分方程，求得：D=12D = {1 \over 2}D=21。

因而差分方程的完全解为：
y[n]=C⋅0.9n+0.5y\left[ n \right] = C \cdot 0.9^n + 0.5y[n]=C⋅0.9n+0.5

将初始条件y[0]=0y\left[ 0 \right] = 0y[0]=0代入完全解，求出待定系数C：
C=−0.5C = - 0.5C=−0.5

所以差分方程的完全解为：

y[n]=−0.5×0.9n+0.5y\left[ n \right] = - 0.5 \times 0.9^n + 0.5y[n]=−0.5×0.9n+0.5

（3）第三小问

自由分量：−0.5×0.9n- 0.5 \times 0.9^n−0.5×0.9n。强迫响应为： 0.5。

（4）第四小问

当n→+∞n \to + \inftyn→+∞， y[∞]=0.5y\left[ \infty \right] = 0.5y[∞]=0.5。

由于每次导入的都是A,B各占50%的混合液，因此不管原先容器内的900升的混合液是怎样的，经过无限次的倒入、混匀、倒出的过程，A所占的比例最终趋近于50%。

※ 附录

■ 相关文献链接:

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