【集合论】容斥原理 ( 复杂示例 )
容斥原理 示例
242424 个人
说英语 , 日语 , 德语 , 法语 的人数 13,5,10,913, 5, 10, 913,5,10,9
同时说 英语 日语 人数 222
同时说 英语 德语 人数 444
同时说 英语 法语 人数 444
同时说 法语 德语 人数 444
说日语的人 不会 法语 德语 ;
求 只会说一种语言的人 ? 同时会说 英语 德语 法语 的人 ?
单个语言集合 :
AAA 集合表示会说英语的人的集合 , ∣A∣=13|A| = 13∣A∣=13 ;
BBB 集合表示会说日语的人的集合 , ∣B∣=5|B| = 5∣B∣=5 ;
CCC 集合表示会说德语的人的集合 , ∣C∣=10|C| = 10∣C∣=10 ;
DDD 集合表示会说法语的人的集合 , ∣D∣=9|D| = 9∣D∣=9 ;
两两相交集合 :
A∩BA \cap BA∩B 集合表示会说 英语 日语 的人的集合 , ∣A∩B∣=2|A \cap B| = 2∣A∩B∣=2 ;
A∩CA \cap CA∩C 集合表示会说 英语 德语 的人的集合 , ∣A∩C∣=4|A \cap C| = 4∣A∩C∣=4 ;
A∩DA \cap DA∩D 集合表示会说 英语 法语 的人的集合 , ∣A∩D∣=4|A \cap D| = 4∣A∩D∣=4 ;
C∩DC \cap DC∩D 集合表示会说 德语 法语 的人的集合 , ∣C∩D∣=4|C \cap D| = 4∣C∩D∣=4 ;
会说日语的人 , 既不不会说法语 , 也不会说德语 , 说明集合 BBB 与集合 C,DC, DC,D 都不相交 ;
∣B∩C∣=∣B∩D∣=∣A∩B∩C∣=∣A∩B∩D∣=∣B∩C∩D∣=∣A∩B∩C∩D∣=0|B \cap C| = |B \cap D| = |A \cap B \cap C| = |A \cap B \cap D| = |B \cap C \cap D| = |A \cap B \cap C \cap D| = 0∣B∩C∣=∣B∩D∣=∣A∩B∩C∣=∣A∩B∩D∣=∣B∩C∩D∣=∣A∩B∩C∩D∣=0
总的人数是 242424 人 : ∣A∪B∪C∪D∣=24|A \cup B \cup C \cup D| = 24∣A∪B∪C∪D∣=24
根据容斥原理 :
∣A∪B∪C∪D∣=|A \cup B \cup C \cup D| =∣A∪B∪C∪D∣=
∣A∣+∣B∣+∣C∣+∣D∣| A | + | B | + | C | + | D |∣A∣+∣B∣+∣C∣+∣D∣ 先将单个集合的个数相加
−(∣A∩B∣+∣A∩C∣+∣A∩D∣+∣B∩C∣+∣B∩D∣+∣C∩D∣)- ( | A \cap B | + | A \cap C | + | A \cap D | + | B \cap C | + | B \cap D | + | C \cap D |)−(∣A∩B∣+∣A∩C∣+∣A∩D∣+∣B∩C∣+∣B∩D∣+∣C∩D∣) 减去两两相交的元素个数
+(∣A∩B∩C∣+∣A∩B∩D∣+∣A∩C∩D∣+∣B∩C∩D∣)+ ( | A \cap B \cap C | + | A \cap B \cap D | + | A \cap C \cap D | + | B \cap C \cap D |)+(∣A∩B∩C∣+∣A∩B∩D∣+∣A∩C∩D∣+∣B∩C∩D∣) 加上三三相交的元素个数
−∣A∩B∩C∩D∣- |A \cap B \cap C \cap D|−∣A∩B∩C∩D∣ 减去 四个集合相交的元素个数
=24= 24=24
将上面的集合元素个数全部代入 :
∣A∪B∪C∪D∣=|A \cup B \cup C \cup D| =∣A∪B∪C∪D∣=
13+5+10+913 + 5 + 10 + 913+5+10+9 先将单个集合的个数相加
−(2+4+4+0+0+4)- ( 2 + 4 + 4 + 0 + 0 + 4 )−(2+4+4+0+0+4) 减去两两相交的元素个数
+(0+0+∣A∩C∩D∣+0)+ ( 0 + 0 + | A \cap C \cap D | + 0 )+(0+0+∣A∩C∩D∣+0) 加上三三相交的元素个数
−0- 0−0 减去 四个集合相交的元素个数
=24= 24=24
计算后得到 :
37−14+∣A∩C∩D∣=2437 - 14 + | A \cap C \cap D | = 2437−14+∣A∩C∩D∣=24
∣A∩C∩D∣=1| A \cap C \cap D | = 1∣A∩C∩D∣=1
同时会说英法德语的人 ∣A∩C∩D∣=1| A \cap C \cap D | = 1∣A∩C∩D∣=1 只有 111 个 ;
计算只会说英语的人 :
∣A∣−∣(B∪C∪D)∩A∣| A | - | ( B \cup C \cup D ) \cap A |∣A∣−∣(B∪C∪D)∩A∣
=∣A∣−∣(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)∣= |A| - | (B \cap A) \cup ( C \cap A ) \cup ( D \cap A ) |=∣A∣−∣(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)∣
使用容斥原理 , 计算 ∣(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)∣| (B \cap A) \cup ( C \cap A ) \cup ( D \cap A ) |∣(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)∣
∣(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)∣| (B \cap A) \cup ( C \cap A ) \cup ( D \cap A ) |∣(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)∣
=(∣B∩A∣+∣C∩A∣+∣D∩A∣)= ( |B \cap A| + |C \cap A| + |D \cap A| )=(∣B∩A∣+∣C∩A∣+∣D∩A∣)
−(∣A∩B∩C∣+∣A∩B∩D∣+∣A∩C∩D∣)- ( | A \cap B \cap C | + | A \cap B \cap D | + | A \cap C \cap D |)−(∣A∩B∩C∣+∣A∩B∩D∣+∣A∩C∩D∣)
+(∣A∩B∩C∩D∣)+ ( |A \cap B \cap C \cap D| )+(∣A∩B∩C∩D∣)
=(2+4+4)−(0+0+1)+(0)=9= ( 2 + 4 + 4) - ( 0 + 0 + 1 ) + ( 0 ) = 9=(2+4+4)−(0+0+1)+(0)=9
∣A∣−∣(B∪C∪D)∩A∣=∣A∣−∣(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)∣=13−9=4| A | - | ( B \cup C \cup D ) \cap A |= |A| - | (B \cap A) \cup ( C \cap A ) \cup ( D \cap A ) | = 13 - 9 = 4∣A∣−∣(B∪C∪D)∩A∣=∣A∣−∣(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)∣=13−9=4
只会说英语的人有 444 个 ;
按照上述步骤 , 计算出 其它 只说日语的人 333 个 , 只说 德语 的人 3 个 , 只说法语的人 222 个 ;
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