一、划分

划分 :

非空集合 AAA , A≠∅A \not= \varnothingA=∅ ,
AAA 集合的一个划分是集族 A\mathscr{A}A ,
该集族 A\mathscr{A}A 包含于 AAA 集合的幂集 , A⊆P(A)\mathscr{A} \subseteq P(A)A⊆P(A) , 集族中的元素都属于 AAA 集合的幂集 ;

集族 A\mathscr{A}A 中的元素是集合 , 称为划分块 ( Block ) , 集合中的元素都是 AAA 集合中的元素 ;

该集族 A\mathscr{A}A 有以下性质 :

① A\mathscr{A}A 集族中每个元素都非空
∅∉A\varnothing \not\in \mathscr{A}∅∈A

② A\mathscr{A}A 集族中任意两个元素 ( 划分块 / 集合 ) 是不相交的

∀x,y(x,y∈A∧x≠y⇒x∩y=∅)\forall x,y ( x,y \in \mathscr{A} \land x \not= y \Rightarrow x \cap y = \varnothing )∀x,y(x,y∈A∧x=y⇒x∩y=∅)

③ A\mathscr{A}A 集族中所有的元素 ( 划分块 / 集合 ) 的并集是 AAA 集合

⋃A=A\bigcup \mathscr{A} = A⋃A=A

商集就是一个划分 , 该集族中的元素是等价类集合 ;

商集参考 : 【集合论】等价类 ( 等价类概念 | 等价类示例 | 等价类性质 | 商集 | 商集示例 ) 四、商集

二、划分示例

全集是 EEE ,

取 EEE 的 nnn 个非平凡的真子集 , 非平凡的含义是既不是空集 , 也不是它自己 ;

∅≠A1,A2,⋯,An⊂E\varnothing \not= A_1 , A_2, \cdots, A_n \subset E∅=A1,A2,⋯,An⊂E

1. 划分 1 基于111 个元素

集族 Ai={Ai,∼Ai}\mathscr{A}_i = \{ A_i , \sim A_i \}Ai={Ai,∼Ai} , i=1,2,⋯,ni = 1, 2, \cdots , ni=1,2,⋯,n ,
Ai\mathscr{A}_iAi 集族中包含 AiA_iAi 集合及其补集 ∼Ai\sim A_i∼Ai , 该集族 Ai\mathscr{A}_iAi 满足上述划分的三个性质 , 是一个划分 ;

2. 划分 2基于222 个元素

集族 Ai={Ai∩Aj,∼Ai∩Aj,Ai∩∼Aj,∼Ai∩∼Aj}−{∅}\mathscr{A}_i = \{ A_i \cap A_j , \sim A_i \cap A_j , A_i \cap \sim A_j , \sim A_i \cap \sim A_j\} - \{ \varnothing \}Ai={Ai∩Aj,∼Ai∩Aj,Ai∩∼Aj,∼Ai∩∼Aj}−{∅} , i,j=1,2,⋯,n∧i≠ji,j = 1, 2, \cdots , n \land i \not= ji,j=1,2,⋯,n∧i=j

根据如下文氏图进行理解 :

Ai∩AjA_i \cap A_jAi∩Aj 对应区域 ①
∼Ai∩Aj\sim A_i \cap A_j∼Ai∩Aj 对应区域 ③
Ai∩∼AjA_i \cap \sim A_jAi∩∼Aj 对应区域 ②
∼Ai∩∼Aj\sim A_i \cap \sim A_j∼Ai∩∼Aj 对应区域 ④
如果 AiA_iAi 与 AjA_jAj 不相交 , 那么区域 ① 就是空集 , 划分类不能是空集 , 此时就需要减去空集 , 对应 −{∅}-\{ \varnothing \}−{∅}

3. 划分 3 基于333 个元素

集族 Aijk={Ai∩Aj∩Ak,Ai∩∼Aj∩∼Ak,∼Ai∩Aj∩∼Ak,∼Ai∩∼Aj∩Ak,∼Ai∩∼Aj∩∼Ak}−{∅}\mathscr{A}_{ijk} = \{ A_i \cap A_j \cap A_k , A_i \cap \sim A_j \cap \sim A_k , \sim A_i \cap A_j \cap \sim A_k , \sim A_i \cap \sim A_j \cap A_k , \sim A_i \cap \sim A_j \cap \sim A_k\} - \{ \varnothing \}Aijk={Ai∩Aj∩Ak,Ai∩∼Aj∩∼Ak,∼Ai∩Aj∩∼Ak,∼Ai∩∼Aj∩Ak,∼Ai∩∼Aj∩∼Ak}−{∅}

4. 划分 4 基于nnn 个元素

集族

A1,2,⋯,n={A1∩A2∩⋯∩An,A1∩∼A2∩⋯∩∼An,∼A1∩A2∩⋯∩∼An,⋮∼A1∩∼A2∩⋯∩∼An}−{∅}\begin{array}{lcl} \mathscr{A}_{1,2,\cdots,n} = \{ \\\\ A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_n , \\\\ A_1\cap \sim A_2 \cap \cdots \cap \sim A_n , \\\\ \sim A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap \sim A_n , \\\\ \vdots \\\\ \sim A_1\cap \sim A_2 \cap \cdots \cap \sim A_n \\\\ \} - \{ \varnothing \} \end{array}A1,2,⋯,n={A1∩A2∩⋯∩An,A1∩∼A2∩⋯∩∼An,∼A1∩A2∩⋯∩∼An,⋮∼A1∩∼A2∩⋯∩∼An}−{∅}

规则 :
A1A_1A1 到 AnA_nAn 的并集 ,
nnn 个 ∼A1\sim A_1∼A1 到 ∼An\sim A_n∼An 的并集 , 其中每个并集中 , 只有一个不是补集 ,
∼A1\sim A_1∼A1 到 ∼An\sim A_n∼An 的并集 ;

三、划分与等价关系定理

划分与等价关系定理 :

前提 : 集合 AAA 非空 , A≠∅A \not= \varnothingA=∅

RRR 关系是 AAA 集合上的等价关系 , 可以推导出 , AAA 集合关于 RRR 关系的商集 A/RA/RA/R 是 AAA 的划分 ;

R是A上等价关系⇒A/R是A的划分R 是 A 上等价关系 \Rightarrow A/R 是 A 的划分R是A上等价关系⇒A/R是A的划分

集族 A\mathscr{A}A 是 AAA 集合上的划分 , 定义一个二元关系是同块关系 RAR_{\mathscr{A}}RA ,
该同块关系是 AAA 集合上的等价关系 ,
该同块关系是由划分 A\mathscr{A}A 定义的关系 ;

xRAy⇔∃z(z∈A∧x∈z∧y∈z)xR_{\mathscr{A}}y \Leftrightarrow \exist z ( z \in \mathscr{A} \land x \in z \land y \in z )xRAy⇔∃z(z∈A∧x∈z∧y∈z)

【集合论】划分 ( 划分 | 划分示例 | 划分与等价关系 )相关推荐

网络号、主机号、子网掩码、IP、子网划分、主机号划分
|## 标题| |网络号.主机号.子网掩码.IP.子网划分.主机号划分 | | |ip=网络号+主机号子网掩码=网络号(不过此时的网络号全用1来表示)+主机号(此时主机号全用0来表示): 为什有子网 ...
IP地址分类以及网络地址的计算(子网划分、超网划分)
本次我将从以下5个方面介绍IP地址(由于篇幅的问题,本篇我只介绍分类编址,无分类编址将在下一篇介绍) 了解IP地址的用途和种类了解分类编址和无分类编址区别掌握子网划分及超网划分方法网络号与主机号 ...
子网划分介绍以及如何划分子网（例题详解）
子网划分这项技术用来把一个单一的IP网络地址划分成多个更小的子网(subnet). 这种技术可使一个较大的分类IP地址能够被进一步划分为几个子网.这样就可以让使用一个大的分类地址(classful a ...
阿里等级划分，阿里评级划分（阿里等级划分标准）
本文目录一览: 1.阿里p1p2p3p3p4p5什么意思 2.阿里p7是什么级别? 3.阿里怎么分级的? 4.阿里职级详解中P10是什么水平? 5.阿里p5是什么级别阿里p1p2p3p3p4p5什么 ...
【pytorch】FL联邦学习数据集的划分+non-iid数据集的划分
目录问题来源: iid划分(随即划分数据集) 1 torch.utils.data.Subset 2 手动划分 3 根据每个client的索引进行数据集划分 3 按照 non-i.i.d. 划分 3 ...
再谈子网划分方法与子网划分示例
近段时间在一些网络技术QQ群中许多朋友对子网划分的方法还是不了解,经常单独向我请教.现从我今年出版的新作<深入理解计算机网络>中摘录该部分内容,做一次集中解答,希望对这些朋友有用.本书好评 ...
vlan划分_基于MAC地址划分VLAN配置示例
1.组网需求图1 配置基于MAC地址的VLAN划分组网图如上图1所示,某个公司的网络中,网络管理者将同一部门的员工划分到同一VLAN.为了提高部门内的信息安全,要求只有本部门员工的PC才可以访问公 ...
python机器学习 train_test_split()函数用法解析及示例划分训练集和测试集以鸢尾数据为例入门级讲解
文章目录 train_test_split()用法获取数据划分训练集和测试集完整代码脚手架 train_test_split()用法 python机器学习中常用 train_test_split ...
云上网络规划CIDR地址划分的参考示例
CIDR规则 0000 0000. //预留 0000 0000. //region Id 区域,例如北京.上海 000 //vpc Id 区域内部不同子网,例如北京1机房.2机房0 0000. // ...

【集合论】划分 ( 划分 | 划分示例 | 划分与等价关系 )

文章目录

一、划分

二、划分示例

三、划分与等价关系定理

【集合论】划分 ( 划分 | 划分示例 | 划分与等价关系 )相关推荐

最新文章

热门文章