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一、逆运算示例
二、合成运算示例 ( 逆序合成 )
三、限制运算示例
四、像运算示例

一、逆运算示例

A={a,b,c,d}A = \{ a, b, c, d \}A={a,b,c,d}

B={a,b,<c,d>}B = \{ a, b, <c, d> \}B={a,b,<c,d>}

C={<a,b>,<c,d>}C = \{ <a, b> , <c, d> \}C={<a,b>,<c,d>}

求上述集合的逆运算

求逆运算只能针对于有序对进行 , 如果没有有序对 , 就没有关系运算的概念 ;

AAA 集合中没有有序对 , 因此没有关系运算的概念 , 对其求逆运算 , 结果是空集合 ;

A−1=∅A^{-1} = \varnothingA−1=∅

BBB 集合中有有序对 <c,d><c, d><c,d> , 其逆运算就是求所有有序对的逆 ;

B−1={<d,c>}B^{-1} = \{ <d, c> \}B−1={<d,c>}

CCC 集合中有有序对 <a,b>,<c,d><a,b> , <c, d><a,b>,<c,d> , 其逆运算就是求所有有序对的逆 ;

C−1={<b,a>,<d,c>}C^{-1} = \{ <b,a> , <d, c> \}C−1={<b,a>,<d,c>}

二、合成运算示例 ( 逆序合成 )

B={a,b,<c,d>}B = \{ a, b , <c,d> \}B={a,b,<c,d>}

R={<a,b>,<c,d>}R = \{ <a,b> , <c,d> \}R={<a,b>,<c,d>}

G={<b,e>,<d,c>}G = \{ <b, e> , <d, c> \}G={<b,e>,<d,c>}

求以下的合成运算结果 , 这里的合成指的是逆序合成

BoR−1B o R^{-1}BoR−1

R−1={<b,a>,<d,c>}R^{-1} = \{ <b,a> , <d,c> \}R−1={<b,a>,<d,c>}

BoR−1={<c,d>}o{<b,a>,<d,c>}={<d,d>}B o R^{-1} = \{ <c, d> \} o \{ <b,a> , <d,c> \} = \{ <d, d> \}BoR−1={<c,d>}o{<b,a>,<d,c>}={<d,d>}

合成默认是逆序合成

GoBG o BGoB

GoB={<b,e>,<d,c>}o{<c,d>}={<c,c>}G o B = \{<b,e>, <d, c>\} o \{ <c,d> \} = \{ <c,c> \}GoB={<b,e>,<d,c>}o{<c,d>}={<c,c>}

GoRG o RGoR

GoR={<b,e>,<d,c>}o{<a,b>,<c,d>}={<a,e>,<c,c>}G o R =\{<b,e>, <d, c>\} o \{ <a,b> , <c,d> \} = \{ <a,e>, <c,c> \}GoR={<b,e>,<d,c>}o{<a,b>,<c,d>}={<a,e>,<c,c>}

RoGR o GRoG

RoG={<a,b>,<c,d>}o{<b,e>,<d,c>}={<d,d>}R o G =\{ <a,b> , <c,d> \} o \{<b,e>, <d, c>\} = \{ <d,d> \}RoG={<a,b>,<c,d>}o{<b,e>,<d,c>}={<d,d>}

三、限制运算示例

F={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}F = \{ <a,b> , <a, \{a\}> , <\{a\} , \{a, \{a\}\}> \}F={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}

参考 : 【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 ) 五、关系的限制

1. 求 F↾{a}F \upharpoonright \{a\}F↾{a}

FFF 集合中的有序对 , 第一个元素是 {a}\{a\}{a} 集合中的元素的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 FFF 集合在 {a}\{a\}{a} 集合上的限制 ;

F↾{a}={<a,b>,<a,{a}>}F \upharpoonright \{a\} = \{ <a,b> , <a, \{a\}> \}F↾{a}={<a,b>,<a,{a}>}

2. 求 F↾{{a}}F \upharpoonright \{\{a\}\}F↾{{a}}

FFF 集合中的有序对 , 第一个元素是 {{a}}\{\{a\}\}{{a}} 集合中的元素的有序对 , {{a}}\{\{a\}\}{{a}} 集合中的元素是 {a}\{a\}{a} , 这些有序对组成的集合就是 FFF 集合在 {{a}}\{\{a\}\}{{a}} 集合上的限制 ;

F↾{{a}}={<{a,{a}}>}F \upharpoonright \{\{a\}\} = \{ <\{a, \{a\}\}> \}F↾{{a}}={<{a,{a}}>}

3. 求 F↾{a,{a}}F \upharpoonright \{a, \{a\}\}F↾{a,{a}}

FFF 集合中的有序对 , 第一个元素是 {a,{a}}\{a, \{a\}\}{a,{a}} 集合中的元素的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 FFF 集合在 {a,{a}}\{a, \{a\}\}{a,{a}} 集合上的限制 ;

F↾{a,{a}}={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}F \upharpoonright \{a, \{a\}\} = \{ <a,b> , <a, \{a\}> , <\{a\} , \{a, \{a\}\}> \}F↾{a,{a}}={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}

4. 求 F−1↾{{a}}F^{-1} \upharpoonright \{\{a\}\}F−1↾{{a}}

F−1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \}F−1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}

F−1F^{-1}F−1 集合中的有序对 , 第一个元素是 {{a}}\{\{a\}\}{{a}} 集合中的元素的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 F−1F^{-1}F−1 集合在 {{a}}\{\{a\}\}{{a}} 集合上的限制 ;

F−1↾{{a}}={<{a},a>}F^{-1} \upharpoonright \{\{a\}\} = \{ <\{a\}, a> \}F−1↾{{a}}={<{a},a>}

四、像运算示例

F={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}F = \{ <a, b> , <a, \{ a \}> , <\{ a \} , \{ a, \{a\} \}> \}F={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}

参考 : 【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 ) 六、关系的象

FFF 集合在 AAA 集合的像 , 是 FFF 集合在 AAA 集合上限制的值域 ;

1. F[{a}]F[\{a\}]F[{a}]

FFF 集合在 {a}\{a\}{a} 集合上的像 , 是 FFF 集合在 {a}\{a\}{a} 集合上的限制的值域 , FFF 集合在 {a}\{a\}{a} 集合上的限制是 {<a,b>,<a,{a}>}\{ <a, b> , <a, \{ a \}> \}{<a,b>,<a,{a}>} , 对应的 FFF 集合在 {a}\{a\}{a} 集合上的像是 {b,{a}}\{ b, \{a\} \}{b,{a}}

F[{a}]={b,{a}}F[\{a\}] = \{ b, \{a\} \}F[{a}]={b,{a}}

2. F[{a,{a}}]F[\{a, \{a\}\}]F[{a,{a}}]

FFF 集合在 {a,{a}}\{a, \{a\}\}{a,{a}} 集合上的像 , 是 FFF 集合在 {a,{a}}\{a, \{a\}\}{a,{a}} 集合上的限制的值域 , FFF 集合在 {a,{a}}\{a, \{a\}\}{a,{a}} 集合上的限制是 {<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}\{ <a, b> , <a, \{ a \}> , <\{ a \} , \{ a, \{a\} \}> \}{<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>} , 对应的 FFF 集合在 {a,{a}}\{a, \{a\}\}{a,{a}} 集合上的像是 {b,{a},{a,{a}}\{ b, \{a\} , \{ a, \{a\} \}{b,{a},{a,{a}}

F[{a,{a}}]={b,{a},{a,{a}}F[\{a, \{a\}\}] = \{ b, \{a\} , \{ a, \{a\} \}F[{a,{a}}]={b,{a},{a,{a}}

3. F−1[{a}]F^{-1}[\{a\}]F−1[{a}]

F−1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \}F−1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}

F−1F^{-1}F−1 集合在 {a}\{a\}{a} 集合上的像 , 是 F−1F^{-1}F−1 集合在 {a}\{a\}{a} 集合上的限制的值域 , F−1F^{-1}F−1 集合在 {a}\{a\}{a} 集合上的限制是 ∅\varnothing∅ , 对应的 F−1F^{-1}F−1 集合在 {a}\{a\}{a} 集合上的像是 ∅\varnothing∅

F−1[{a}]=∅F^{-1}[\{a\}] = \varnothingF−1[{a}]=∅

4. F−1[{{a}}]F^{-1}[\{ \{a\} \}]F−1[{{a}}]

F−1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \}F−1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}

F−1F^{-1}F−1 集合在 {{a}}\{ \{a\} \}{{a}} 集合上的像 , 是 F−1F^{-1}F−1 集合在 {{a}}\{ \{a\} \}{{a}} 集合上的限制的值域 , F−1F^{-1}F−1 集合在 {{a}}\{ \{a\} \}{{a}} 集合上的限制是 <{a},a><\{a\}, a><{a},a> , 对应的 F−1F^{-1}F−1 集合在 {{a}}\{ \{a\} \}{{a}} 集合上的像是 {a}\{a\}{a}

F−1[{{a}}]={a}F^{-1}[\{ \{a\} \}] = \{a\}F−1[{{a}}]={a}

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