【集合论】等价关系 ( 等价关系概念 | 等价关系示例 | 等价关系与闭包 )
文章目录
- 一、等价关系
- 二、等价关系示例
- 三、等价关系与闭包示例
一、等价关系
等价关系概念 :
AAA 集合是非空集合 , A≠∅A \not= \varnothingA=∅ , 并且 RRR 关系是 AAA 集合上的二元关系 , R⊆A×AR \subseteq A\times AR⊆A×A ;
如果 RRR 关系是 自反 , 对称 , 传递 的 , 那么称 RRR 关系是 等价关系 ;
二、等价关系示例
1. 关系 111 : xxx 与 yyy 年龄相同 ;
- 自反 : xxx 与 xxx 年龄相同 ; 自反 成立 ;
- 对称 : xxx 与 yyy 年龄相同 , yyy 与 xxx 年龄相同 ; 对称 成立 ;
- 传递 : xxx 与 yyy 年龄相同 , yyy 与 zzz 年龄相同 , xxx 与 zzz 年龄相同 ; 传递 成立 ;
- 等价关系 : 该关系是 自反 , 对称 , 传递 的 , 因此该关系 是等价关系 ;
由上边可以看出 , 等价关系是用于分类的 , 同一年出生的人可以划分到一个等价类中 ;
2. 关系 222 : xxx 与 yyy 姓氏相同 ;
- 自反 : xxx 与 xxx 姓氏相同 ; 自反 成立 ;
- 对称 : xxx 与 yyy 姓氏相同 , yyy 与 xxx 姓氏相同 ; 对称 成立 ;
- 传递 : xxx 与 yyy 姓氏相同 , yyy 与 zzz 姓氏相同 , xxx 与 zzz 姓氏相同 ; 传递 成立 ;
- 等价关系 : 该关系是 自反 , 对称 , 传递 的 , 因此该关系 是等价关系 ;
3. 关系 333 : xxx 年龄大于等于 yyy ;
- 自反 : xxx 年龄大于等于 xxx ; 自反 成立 ;
- 对称 : xxx 年龄大于等于 yyy , yyy 年龄大于等于 xxx ; 对称 不成立 ;
- 传递 : xxx 年龄大于等于 yyy , yyy 年龄大于等于 zzz , xxx 年龄大于等于 zzz ; 传递 成立 ;
- 等价关系 : 该关系是 自反 , 传递 的 , 不是对称的 , 因此该关系 不是等价关系 ;
4. 关系 444 : xxx 与 yyy 选修同一门课程 ;
- 自反 : xxx 与 xxx 选修同一门课程 ; 自反 成立 ;
- 对称 : xxx 与 yyy 选修同一门课程 , yyy 与 xxx 选修同一门课程 ; 对称 成立 ;
- 传递 : xxx 与 yyy 选修同一门课程 , yyy 与 zzz 选修同一门课程 , xxx 与 zzz 选修同一门课程 ; 上述情况不一定成立 , x,yx,yx,y 可能同时选修音乐 , y,zy,zy,z 同时选修历史 , x,zx,zx,z 没有选修相同的课程 ; 传递 不成立 ;
- 等价关系 : 该关系是 自反 , 对称 的 , 不是传递的 , 因此该关系 不是等价关系 ;
5. 关系 555 : xxx 体重大于 yyy ;
- 自反 : xxx 体重大于 xxx ; 自反 不成立 ;
- 对称 : xxx 体重大于 yyy , yyy 体重大于 xxx ; 对称 不成立 ;
- 传递 : xxx 体重大于 yyy , yyy 体重大于 zzz , xxx 体重大于 zzz ; 传递 成立 ;
- 等价关系 : 该关系是 传递 的 , 不是 自反 , 对称 的 , 因此该关系 不是等价关系 ;
三、等价关系与闭包示例
AAA 集合是非空集合 , A≠∅A \not= \varnothingA=∅ , 并且 RRR 关系是 AAA 集合上的二元关系 , R⊆A×AR \subseteq A\times AR⊆A×A ;
对 RRR 关系求三种闭包 , 有 666 种不同的顺序 , 讨论这些求闭包结果的性质 ;
666 种求闭包的性质 :
rts(R)rts(R)rts(R) : 先求对称闭包 , 再求传递闭包 , 最后求自反闭包 ;
trs(R)trs(R)trs(R) : 先求对称闭包 , 再求自反闭包 , 最后求传递闭包 ;
tsr(R)tsr(R)tsr(R) : 先求自反闭包 , 再求对称闭包 , 最后求传递闭包 ;
rst(R)rst(R)rst(R) : 先求传递闭包 , 再求对称闭包 , 最后求自反闭包 ;
srt(R)srt(R)srt(R) : 先求传递闭包 , 再求自反闭包 , 最后求对称闭包 ;
str(R)str(R)str(R) : 先求自反闭包 , 再求传递闭包 , 最后求对称闭包 ;
参考 : 【集合论】关系闭包 ( 关系闭包求法 | 关系图求闭包 | 关系矩阵求闭包 | 闭包运算与关系性质 | 闭包复合运算 ) 五、闭包复合运算
- rs(R)=sr(R)rs(R) = sr(R)rs(R)=sr(R) : 对称闭包 与 自反闭包 的复合运算 , 无论顺序如何 , 先求哪个都一样 ;
- rt(R)=tr(R)rt(R) = tr(R)rt(R)=tr(R) : 传递闭包 与 自反闭包 的复合运算 , 无论顺序如何 , 先求哪个都一样 ;
- st(R)⊆ts(R)st(R) \subseteq ts(R)st(R)⊆ts(R) : 传递闭包 与 对称闭包 的符合运算 , 顺序不同 , 其计算结果不同 ;
因此这里分为两大类
- ① 先求传递闭包 , 再求对称闭包
- ② 先求对称闭包 , 再求传递闭包
先求对称闭包 , 再求传递闭包 :
- rts(R)rts(R)rts(R) : 先求对称闭包 , 再求传递闭包 , 最后求自反闭包 ;
- trs(R)trs(R)trs(R) : 先求对称闭包 , 再求自反闭包 , 最后求传递闭包 ;
- tsr(R)tsr(R)tsr(R) : 先求自反闭包 , 再求对称闭包 , 最后求传递闭包 ;
固定 ts 运算的顺序 , 先 t 后 s , r 运算可以放在任意位置 ;
自反与其它两个闭包运算没有冲突 , 在任意位置都可以 ;
对称与传递 , 后求的传递 , 因此其结果是传递的 ;
上述三个顺序产生的结果是 自反 , 对称 , 传递 的 , 其满足等价关系 , 结果是 等价闭包 ;
先求对传递包 , 再求对称闭包 :
- rst(R)rst(R)rst(R) : 先求传递闭包 , 再求对称闭包 , 最后求自反闭包 ;
- srt(R)srt(R)srt(R) : 先求传递闭包 , 再求自反闭包 , 最后求对称闭包 ;
- str(R)str(R)str(R) : 先求自反闭包 , 再求传递闭包 , 最后求对称闭包 ;
固定 st 运算的顺序 , 先 s ( 对称闭包 ) 后 t ( 传递闭包 ) , r ( 对称闭包 ) 运算可以放在任意位置 ;
自反与其它两个闭包运算没有冲突 , 在任意位置都可以 ;
对称与传递 , 先求的传递 , 然后求对称 , 对称会破坏传递 , 因此其结果不是传递的 ;
上述三个顺序产生的结果是 自反 , 对称 , 不传递 的 , 其不满足等价关系 ;
| rts(R)=trs(R)==tsr(R)rts(R)=trs(R)==tsr(R)rts(R)=trs(R)==tsr(R) | rst(R)=srt(R)=str(R)rst(R) = srt(R) = str(R)rst(R)=srt(R)=str(R) | |
|---|---|---|
| 自反 | 成立 | 成立 |
| 对称 | 成立 | 成立 |
| 传递 | 成立 | 不成立 |
| 等价关系 | 成立 ( 该闭包称为等价闭包 ) | 不成立 |
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