文章目录

一、链
二、反链
三、链与反链示例
四、链与反链定理
五、链与反链推论
六、链与反链推论示例
七、良序关系

一、链

<A,≼><A, \preccurlyeq><A,≼> 是偏序集 , B⊆AB \subseteq AB⊆A ,

偏序集中一组元素组成集合 BBB , 如果 BBB 集合中的元素两两都可比 , 则称 BBB 集合是该偏序集 <A,≼><A, \preccurlyeq><A,≼> 的链 ;

符号化表示 : ∀x∀y(x∈B∧y∈B→x与y可比)\forall x \forall y ( x \in B \land y \in B \to x 与 y 可比 )∀x∀y(x∈B∧y∈B→x与y可比)

链的本质是一个集合

∣B∣|B|∣B∣ 是链的长度

二、反链

<A,≼><A, \preccurlyeq><A,≼> 是偏序集 , B⊆AB \subseteq AB⊆A ,

偏序集中一组元素组成集合 BBB , 如果 BBB 集合中的元素两两都不可比 , 则称 BBB 集合是该偏序集 <A,≼><A, \preccurlyeq><A,≼> 的反链 ;

符号化表示 : ∀x∀y(x∈B∧y∈B∧x≠y→x与y不可比)\forall x \forall y ( x \in B \land y \in B \land x\not= y \to x 与 y 不可比 )∀x∀y(x∈B∧y∈B∧x=y→x与y不可比)

反链的本质是一个集合

∣B∣|B|∣B∣ 是反链的长度

三、链与反链示例

参考博客 : 【集合论】偏序关系相关题目解析 ( 偏序关系中的特殊元素 | 绘制哈斯图 | 链 | 反链 )

四、链与反链定理

<A,≼><A, \preccurlyeq><A,≼> 是偏序集 , B⊆AB \subseteq AB⊆A ,

AAA 集合中最长链长度是 nnn , 则有以下结论 :

① AAA 集合中存在极大元 ;

AAA 集合的极大元就是最长链中最大的元素 ;

② AAA 集合中存在 nnn 个划分块 , 每个划分块都是反链 ;

将链中的极大元 , 与该极大元不可比的元素放在一个集合中 , 构成一个划分块 ; ( 注意划分块中的元素互相不可比 )

在链上剩余的元素中 , 再次选择一个极大元 , 然后将与该极大元不可比的元素放在一个集合中 , 构成另一个划分块 ;

⋮\vdots⋮

下面的示例讲解了如何划分 :

上述偏序集中 , 最长的链长度是 666 ;

① 将极大元 g,hg,hg,h , 与该极大元不可比的剩余元素 kkk 放在一个集合中 ;

A1={g,h,k}A_1 = \{ g , h , k \}A1={g,h,k}

② 将剩余元素的极大元 fff , 与该极大元不可比的剩余元素 jjj 放在一个集合中 ;

A2={f,j}A_2 = \{ f,j \}A2={f,j}

③ 将剩余元素的极大元 eee , 与该极大元不可比的剩余元素 iii 放在一个集合中 ;

A3={e,i}A_3 = \{ e, i \}A3={e,i}

④ 将剩余元素的极大元 ddd , 剩余的元素都与该极大元科比 ;

A4={d}A_4 = \{ d \}A4={d}

⑤ 将剩余元素的极大元 ccc , 剩余的元素都与该极大元科比 ;

A5={c}A_5 = \{ c\}A5={c}

⑥ 将剩余元素的极大元 a,ba,ba,b , 没有剩余元素了 ;

A6={a,b}A_6 = \{ a,b \}A6={a,b}

整体的划分为 : A={{g,h,k},{f,j},{e,i},{d},{c},{a,b}}\mathscr{A} = \{ \{ g , h , k \} ,\{ f,j \} , \{ e, i \} , \{ d \} , \{ c\} , \{ a,b \} \}A={{g,h,k},{f,j},{e,i},{d},{c},{a,b}}

每次都将最长链去掉一层 , 最终将最长链去除干净 , 得到 nnn 个划分块 ;

五、链与反链推论

<A,≼><A, \preccurlyeq><A,≼> 是偏序集 , B⊆AB \subseteq AB⊆A ,

AAA 集合大小为 mn+1mn + 1mn+1 , ∣A∣=mn+1|A| = mn + 1∣A∣=mn+1 , 则有以下结论 :

AAA 集合中要么存在 m+1m+1m+1 的反链 , 要么存在 n+1n + 1n+1 的链 ;

使用反证法证明 :

如果既没有 m+1m+1m+1 的反连 , 又没有 n+1n + 1n+1 的链 ,

假设有长度为 nnn 的链 , 长度为 mmm 的反连 ,

AAA 集合最多划分 nnn 个划分块 , 每个划分块最多有 mmm 个元素 , 该集合最多有 mnm nmn 个元素 , 与 ∣A∣=mn+1|A| = mn + 1∣A∣=mn+1 矛盾 ;

六、链与反链推论示例

上述偏序集中 , 最长的链长度是 666 ;

A={a,b,c,d,e,f,g,h,k,j,i}A = \{ a,b,c,d,e,f,g,h,k,j,i \}A={a,b,c,d,e,f,g,h,k,j,i} 集合中 , 元素个数是 111111 个 ,

AAA 集合中有

长度为 666 的链 , {a,c,d,e,f,g}\{ a, c,d, e,f, g \}{a,c,d,e,f,g} , {b,c,d,e,f,h}\{ b, c,d, e,f, h \}{b,c,d,e,f,h}
长度为 333 的反链 , {g,h,k}\{ g,h,k \}{g,h,k} , {a,b,i}\{ a,b,i \}{a,b,i} , {g,h,i}\{ g,h,i \}{g,h,i} , {a,b,k}\{ a,b,k \}{a,b,k}

∣A∣=11=2×5+1|A| = 11 = 2 \times 5 + 1∣A∣=11=2×5+1

AAA 集合中要么有长度为 2+1=32 + 1 = 32+1=3 的反链 , 要么有长度为 5+1=65 + 1 = 65+1=6 的链 ; ( 两个都满足 )
或

AAA 集合中要么有长度为 5+1=65 + 1 = 65+1=6 的反链 , 要么有长度为 2+1=32 + 1 = 32+1=3 的链 ; ( 满足长度为 333 的链 )

AAA 集合上的划分 :

A={{g,h,k},{f,j},{e,i},{d},{c},{a,b}}\mathscr{A} = \{ \{ g , h , k \} ,\{ f,j \} , \{ e, i \} , \{ d \} , \{ c\} , \{ a,b \} \}A={{g,h,k},{f,j},{e,i},{d},{c},{a,b}}
A={{g,h},{f},{e},{d},{c,j},{a,b,i}}\mathscr{A} = \{ \{ g , h \} ,\{ f \} , \{ e \} , \{ d \} , \{ c, j\} , \{ a,b , i \} \}A={{g,h},{f},{e},{d},{c,j},{a,b,i}}

七、良序关系

<A,≺><A, \prec><A,≺> 是拟全序集 ,

如果 AAA 集合中的任何非空子集 BBB , 都有最小元 ,

则称 ≺\prec≺ 是集合 AAA 上的良序关系 ,

称 <A,≺><A, \prec><A,≺> 为良序集

<N,<><N, <><N,<> 是良序集 , NNN 集合中的非空子集有最小元 , 最小就是 000 ;

<Z,<><Z, <><Z,<> 不是良序集 , ZZZ 集合中的非空子集可能没有最小元 , 可能是 −∞-\infty−∞ ;

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一、链

二、反链

三、链与反链示例

四、链与反链定理

五、链与反链推论

六、链与反链推论示例

七、良序关系

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