递归式的时间复杂度的计算

递归算法的时间复杂度分析

在算法分析中，当一个算法中包含递归调用时，其时间复杂度的分析会转化为一个递归方程求解。实际上，这个问题是数学上求解渐近阶的问题，而递归方程的形式多种多样，其求解方法也是不一而足，比较常用的有以下四种方法：

方法一：代换法（代入法）

代换法主要需要以下两个步骤

1、猜答案，不需要完全猜出来，不需要知道常熟系数的准确值，而只需要猜出它的形式，比如猜一个递归式的时间复杂度大概是O(n²)，即它的运行时间应该是一个常熟乘以n²，可能还会有一些低阶项。

猜到答案之后，把答案代入进去，去证明它的确是。

方法二：递归树法

递归树法主要是通过递归树将递归式展开来找到答案，然后再用代换法证明它，因为递归树法是不严谨的。

例如，用递归树法求T(n) = T(n/2) + n² , 用递归树法将该递归式展开

像这样将递归树展开并延伸下去，最终到叶子节点就只剩下T(1)，那么该递归树的高度就是logn，因为从顶点n出发，到n/2,到n/4,……最后到1，那么从n到1的折半次数是logn，即高度是logn（应该是一个常数乘以logn，不过没多大关系）。而最下面叶子节点的数目是n，因为从第一层往下，节点数变化为1,2,4,8……，如果树的高度是h，那么就会有2^h个叶节点，而高度是logn，那么2^logn=n。那么，整体所做的工作加起来就是T(n)了

T(n) = [1+1/2+1/4+……]n² = 2n²,于是可知时间复杂度为T(n) = O(n²)。

再例如，用递归树法求T(n) = T(n/4)+T(n/2)+n² ,下面用递归树的方法将该递归式展开

最后，求叶子节点的数目有点麻烦，因为分支的递归速度是不一样的，左边降低到n/16的时候，右边才降低到n/4，左边子树的高度将会比右边子树的高度要小。可以看到叶子节点的数目必然小于n，因为最开始的问题大小是n，然后递归成一个n/4和n/2的两个子问题，直到最后递归到1停止，而n/4+n/2 < n , 所以最后叶子节点的数目不会超过n，将每层求和就得到T(n)，经过观察发现一个等比数列，于是数学归纳法开始派上用场

T(n) = (1+5/16+25/256+……)n²≤2n² =O(n²) 于是得到该递归式时间复杂度为O(n²)，因为是猜出来的等比数列，于是需要用数学归纳法证明之，就又变成方法一中代换法求证了。

方法三：主方法 (master method)

该方法仅适用于特定格式的递归式

同时要求f(n)渐进趋正，即当n->无穷时，f(n)>0。（我觉得上图中第2,3中少了个logn，具体请参考算法导论一书中对时间复杂度的讨论）

例如:

T(n)=4T(n/2)+n ，则a=4,b=2,f(n)=n，计算n^log(b,a)=n²>f(n), 满足模式一，因此T(n) = n^log(b,a)=O(n²)

T(n)=4T(n/2)+n²，则根据上面计算，满足模式二，因此T(n)=O(n²logn)

T(n)=4T(n/2)+n³，满足模式三，T(n)=O(n³)

对于该方法的正确性，可以通过递归树的方法证明，懒的画了，可以在大脑里构思出这样一个草图：

在第一层，f(n)分解为a个子问题，每个子问题都是f(n/b)，第二层每个子问题又分解为a个子问题，每个问题都是f(n/b²)……这样递归分解下去，最后的叶子还是O(1)，整个树的高度就是log以b为底n的对数，整个的叶子节点数目为a的log以b为底n的对数次方（a^log(b,n)），即n^log(b,a)个叶子节点。每个分支的递减速度是一样的，将每层都加在一起便得到T(n) ，此时就需要对f(n)的情况进行讨论（于是就是上面的1,2,3）。

第四种方法：迭代法

T(n) = 3T(n/4) + O(n)
= O(n) + 3( O(n/4) + 3T(n/4² ) )
= O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/4² ) + 3T(n/4³ ) ) )······

这样的一种形式就是迭代法的推导形式

递归式的时间复杂度的计算相关推荐

递归式求时间复杂度的递归树的方法举例说明
用递归树的时候注意一下递归树的写法规则: (1) 每层的节点为T(n) = kT(n / m) + f(n)中的f(n)在当前的n/m下的值,所以每一层并不是写为T(n / m) , 并且递归树的根节 ...
递归式求时间复杂度的代入法与迭代法的举例讲解
在算法分析中,当一个算法中包含递归调用时,其时间复杂度的分析会转化为一个递归方程求解.实际上,这个问题是数学上求解渐近阶的问题,而递归方程的形式多种多样,其求解方法也是不一而足,比较常用的有以下四种方 ...
【算法导论-主定理】用主方法求解递归式学练结合版
问题:若某算法的计算时间表示为递推关系式:T(N)=2T(N/2)+NlogN 且 T(1)=1 则该算法的时间复杂度为( ). O(Nsqrt(N)) O(NlogN) O(N(logN)^2) O ...
矩阵乘法递归优化 c语言,矩阵乘法优化递归式
序: 在OI比赛中,很多情况下我们可以能通过打表(找规律)或者某些方式发现一个递归式. 例如:f(n) = f(n - 1)+f(n - 2),(斐波那契数列). 通常情况下,我们计算f(n)的时间复 ...
分治算法中的数学——求解递归式（代入法）
前言在运用分治法将原问题分解成多个子问题后,通常可以得到一个关于时间复杂度的递归式,如T(n)=T(n/2)+O(1),如何求解递归式并得出该算法的时间复杂度O(f(n))就是我们要解决的问题.一般 ...
【算法】2 由股票收益问题再看分治算法和递归式
回顾分治算法分治算法的英文名叫做"divide and conquer",它的意思是将一块领土分解为若干块小部分,然后一块块的占领征服,让它们彼此异化.这就是英国人的军事策略,但 ...
算法时间复杂度的计算：从几道题目讲起
引子最近再来回顾一下算法相关的知识,那自然,首先要学习的就是时间复杂度的概念,以及其计算方式.下面,我就会简单地介绍下时间复杂度,以及会给出几道典型的时间复杂度计算题. 时间复杂度将算法中基本操 ...
时间复杂度的计算详解
时间复杂度计算分为以下三个步骤(推导大O阶): 1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数 2.在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项 3.如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数,得到的结 ...
主定理（主方法）求解递归式
1.主方法使用条件用主方法求解递归式有条件,必须要求递归式为以下形式: 其中a>=1,b>1,f(n)渐进趋正,意为对足够大的n,f(n)是正的,即n>= n 0 n_0 n0时 ...

递归式的时间复杂度的计算

递归式的时间复杂度的计算相关推荐

最新文章

热门文章