前言

在运用分治法将原问题分解成多个子问题后，通常可以得到一个关于时间复杂度的递归式，如T(n)=T(n/2)+O(1)，如何求解递归式并得出该算法的时间复杂度O(f(n))就是我们要解决的问题。一般来说，有三种方法可以供我们选择，代入法、递归树法和公式法（即《算法导论》中所描述的主方法）。下面先从代入法开始讲起。

代入法

一、基本步骤

猜测解的形式， $T(n)=O(f(n))$
运用第二类数学归纳法，证明存在常数c使得 $T(n))\leq cf(n)$

二、数学归纳法

定义

数学归纳法是代入法的核心，此处使用的是其第二种形式，其具体过程如下：

当 $n=1$ 时，命题成立；
假设当 $n\leq k(k\in N)$ 时，命题成立，由此可推得当 $n=k+1$ 时，命题也成立。

我们用一个例子来说明用数学归纳法证明递归式的解的过程。

例：求递归式 $T(n)=2T(n/2)+n$ 的渐进上界。

解：第一步猜测的时候需要一些经验，观察递归式和已知确界的式子是否相似，选取相应的解的形式。这里我们猜测 $T(n)=O(nlgn)$ ，然后用数学归纳法证明其正确性。

假设存在 $c>0$ ，使得对 $k< n$ 的所有正整数k都有 $T(k)\leq cklgk$ ，特别地， $k=n/2$ 也满足这个不等式，即 $T(n/2)\leq c(n/2)lg(n/2)$ 。下面推导 $k=n$ 的情况也满足该不等式。

$T(n)=2T(n/2)+n\leq 2c(n/2)lg(n/2)+n=cnlgn+(1-c)n\leq cnlgn$

当 $c>1$ 时，上式成立。由此可知，数学归纳法证明了该递归式的解就是 $T(n)=O(nlgn)$ 。

实用技巧

1.改变初始条件

上例中忽略了初始条件的检查，即保证 $n=1$ 时有 $T(1)\leq clg1=0$ 。显然这并不成立，数学归纳法失效。注意，在渐进上界的定义中，只要当n大于某个数之后的所有情况都满足 $0\leq T(n)\leq cf(n)$ ，那么就有 $T(n)=O(f(n))$ 。因此我们可以把初始条件往后挪一下，让 $n=2$ 作为归纳的起点， $T(2)\leq c2lg2=2c$ 完全可以找到相应的c的值使其成立，这样数学归纳法就可以进行下去了。今后在使用代入法的时候，我们总可以经过往后挪几个的操作使初始条件满足递归式，所以就不再赘述，仅关注数学归纳法的第二步，演绎推理的过程。

2.换元法

恰当地使用换元法将复杂且不熟悉的递推式转变成我们熟悉的形式，然后再直接写出解并回代能更快的解决一些问题。如

$T(n)=2T([\sqrt{n}])+lgn$

它看似很复杂，但是当我们考虑 $\sqrt{n}$ 为整数，并作换元 $m=lgn$ 后，得到

$T(2^{m})=2T(2^{m/2})+m$

令 $T(2^{m})=S(m)$ ，则上式可以写为 $S(m)=2S(m/2)+m$ ，这是我们熟悉的形式，可以直接写出答案。

附录

在计算时间复杂度时经常要用到几个概念，现将其准确的定义列出。需要注意的是，其中所有的函数都要求渐进非负。

O记号-渐进上界

$f(n)=O(g(n))$ ，存在正常数 $c$ 和 $n_{0}$ ，使得对所有的 $n\geq n_{0}$ ，有 $f(n)\leq cg(n)$ 。

$\Omega$ 记号-渐进下界

$f(n)=\Omega (g(n))$ ，存在正常数 $c$ 和 $n_{0}$ ，使得对所有的 $n\geq n_{0}$ ，有 $0\leq cg(n) \leq f(n)$ 。

$\Theta$ 记号-渐进确界

$f(n)=\Theta (g(n))$ ，存在正常数 $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 和 $n_{0}$ ，使得对所有的 $n\geq n_{0}$ ，有 $0\leq c_{1}g(n) \leq f(n) \leq c_{2}g(n)$ 。

定理

对任意两个函数 $f(n)$ 和 $g(n)$ ，当且仅当 $f(n)=\Omega (g(n))$ 且 $f(n)=O(g(n))$ 时，有 $f(n)=\Theta (g(n))$ 。

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分治算法中的数学——求解递归式（代入法）

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代入法

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