矩阵乘法递归优化 c语言,矩阵乘法优化递归式

序：

在OI比赛中，很多情况下我们可以能通过打表(找规律)或者某些方式发现一个递归式。

例如：f(n) = f(n - 1)+f(n - 2)，(斐波那契数列)。

通常情况下，我们计算f(n)的时间复杂度就是O(n)(分别计算f(1), f(2) ... f(n - 1)).

但是当n很大又或者还有其他处理的复杂度一叠加便会超时。

如果不学习矩阵乘法优化的话，我们恐怕永远不会想到计算递推式还可以进行优化。

实际上利用矩阵乘法，我们可以将O(n)的计算递归式的复杂度降至O(logn)。

优化递归式的特征

形如f(n) = a1 * f(n - 1) + a2 * f(n - 2) + ... + ak * f(n - k)+c (c为常数)

本文讨论的范畴

形如 f(n) = f(n-1) + f(n-2) + .. + f(n-k) 的递归式(1)

形如f(n) = a1 * f(n-1) + a2 * f(n-2) + .. + ak * f(n-k) 的递归式(2)

形如f(n) = a1 * f(n-1) + a2 * f(n-2) + .. + ak * f(n-k) + c 的递归式(3)

实际上理解了最简单的第一个递归式的原理，就很容易理解后面的两种情况。每个前式都是后式的一种特殊情况。

理论基础

首先给出斐波那契数列求第n项的O(logn)的做法，由它引出原理。

已知 :

f(n) = f(n -1) + f(n - 2); -- (1)

f(n - 1) =

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