引子

最近再来回顾一下算法相关的知识，那自然，首先要学习的就是时间复杂度的概念，以及其计算方式。下面，我就会简单地介绍下时间复杂度，以及会给出几道典型的时间复杂度计算题。

时间复杂度

将算法中基本操作的执行次数作为算法时间复杂度。

常见时间复杂度的大小比较关系：

下面，我将给出几个简单的算法，并计算其时间复杂度。

算法案例

案例一

public void fun(int n) {int i = 1, j = 100;while (i < n) {++j;i += 2;}
}

求上述算法的时间复杂度。

这个算法很简单，显然问题的规模为n，基本语句为 i += 2;。我们假设循环进行了 m 次后停止。此时，我们可以得到：

1 + 2m + K = n。其中K是一个常量，可能为0，也可能为1，用于修正结果值。因为在循环结束时，i 可能等于 n，也可能等于 n-1。

上面式子最终解得： $m = \frac{n - k-1}{2}$ 。

也就是说，上述算法的时间复杂度 T(n) = O(n)。

案例二

public void fun(int n) {int i, j, x = 0;for (i = 1; i < n; ++i) {for (j = i + 1; j <= n; ++j) {++x;}}
}

这个算法也很简单，算法的规模为n，基本语句为 ++x;。简单的分析下，我们很容易得到：

对于每一个符合条件的 i，++x; 执行的次数为 n - (i + 1) + 1 = n - i 次。

则 ++x; 执行的总次数为： $\sum_{i=1}^{n-1}(n-i) = 1 + 2+3+...+(n-1)=\frac{(n-1)}{2}(1+n-1)=\frac{(n-1)}{2}n$

显而易见，上述算法的时间复杂度 $T(n) = O(n^{2})$ 。

案例三

public void fun(int n) {int i = 0, s = 0;while (s < n) {++i;s += i;}
}

上述算法问题的规模为n，基本语句为 ++i; 和 s += i; 两句。

对于这个问题，我假设循环经过 m 次结束，s的值为S(m)。则我们很容易得到：

当 m = 1 时，S(1) = 1;
当 m = 2 时，S(2) = S(1) + 2 = 1 + 2;
当 m = 3 时，S(3) = S(2) + 3 = 1 + 2 + 3;
由上可得： $S(m) = 1 + 2 + 3 + ... + m = \frac{m}{2}(m+1)$

循环经过m次后停止，此时有 S(m) + K = n。K用于修正结果。即： $\frac{m}{2}(m+1) + K = n$

我们将其解出，得到结果：

$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{8n-8K+1}}{2}; x_{2}=\frac{-1-\sqrt{8n-8K+1}}{2}(abandon)$

上面的 $x_{2}$ 是个错误值，我们直接将其舍弃。所以，该算法的基本语句执行的次数为：

$f(n)=\sqrt{8n-8K+1}-1$

显而易见，该算法的时间复杂度 $T(n) = O(\sqrt{n})$ 。

案例四

public void mergeSort(int i, int j) {int m = 0;if (i != j) {m = (i + j) / 2;mergeSort(i, m);mergeSort(m + 1, j);}merge(i, j, m);
}

已知下面的条件：

调用该方法时，是通过 mergeSort(1, n) 来调用该方法的。
merge() 方法的时间复杂度为 O(n)。

求该算法的时间复杂度。

首先，我们来理解一下该方法。该方法实际的逻辑可以理解是，将需要排序的集合二等分为两份，分别进行排序。

比如，假设我们给定一个例子，i = 1，j = 20，意味着我们将对一个含有20个元素的集合进行排序。在 mergeSort() 方法中，会将该集合分为两个集合，第一个集合是下标从1到10，第二个集合是下标从 11到20。所以，如果我们设定 mergeSort() 方法的基本操作次数为 f(n)，则 mergeSort() 方法内部的 mergeSort() 方法的基本操作次数就是 $f(\frac{n}{2})$ 。

有了上面的理解，我们就能够进行推理：

已知 merge() 方法的时间复杂度为 O(n)，我们假设 merge() 方法的基本操作次数为 a·n。

我们假设mergeSort()方法的基本操作次数为 f(n)。我们可以得出：

$f(n)=2f(\frac{n}{2})+a\cdot n$ ①；

当 $n = \frac{n}{2}$ 时，代入①式有：

$f(\frac{n}{2})=2f(\frac{n}{4})+ \frac{a}{2}n$ ②；

将 ② 式带入 ① 式，得到：

$f(n)=4f(\frac{n}{4})+ 2a\cdot n$ ③；

又有当 $n = \frac{n}{4}$ 时，代入①式有：

$f(\frac{n}{4})=2f(\frac{n}{8})+ \frac{a}{4}n$ ④；

将 ④ 式带入 ③ 式，得到：

$f(n)=8f(\frac{n}{8})+ 3a\cdot n$ ⑤；

同样，我们分别再求 $f(\frac{n}{8})$ 、...、 $f(\frac{n}{2^{k}})$ ，综合上面①、③、⑤式，可以得到：

$f(n) =2f(\frac{n}{2})+a\cdot n \\ =4f(\frac{n}{4})+ 2a\cdot n\\ =8f(\frac{n}{8})+ 3a\cdot n\\ ...\\ =2^{k}f(\frac{n}{2^{k}})+ ka \cdot n$

也就是说， $f(n) =2^{k}f(\frac{n}{2^{k}})+ ka \cdot n$ ⑥。

然后，从 mergeSort() 方法我们可以得出 f(1) = O(1) ⑦ 。

这里，根据 ⑦ 式，我们想办法化掉 $f(\frac{n}{2^{k}})$ ，则当 $n = 2^{k}$ 时，有

$k = \log_2n,\\ f(2^{k}) =2^{k}f(1)+ ka \cdot n$

这里，两个式子结合，替换掉k，则可以得到mergeSort()方法的基本操作次数为：

$f(n) =O(1)\cdot n+ a \cdot n \log_2n$

显然，mergeSort()方法的时间复杂度 $T(n) = n \log_2n$ 。

案例五

具有 n 个元素的顺序表，如上图，分析其插入和删除一个元素的时间复杂度。

对于上面这个顺序表，假设其是一个数组。我们分析其插入一个元素时，需要移动元素的平均个数。这里，我们分两步进行分析：

首先，求概率。

总有 n 个元素，则其总共有 n + 1 个插入点。每个位置被插入的可能性相同，则每一个未知被插入概率为： $P =\frac{1}{n+1}$ 。

然后，求元素移动个数。

假设要把新元素插入到第 i 个元素之后（如果在1号元素之前插入，则记做在 0 号元素之后插入），则需要将第 i 号元素之后的所有元素向后移动1位，移动元素的个数为：n - i 。

所以，移动元素个数的期望为：

$E = p\sum_{i=0}^{n}(n-i) \quad = \quad \frac{1}{n+1}\cdot \frac{n+1}{2}n \quad = \quad \frac{n}{2}$

显然，平均要移动一半的元素，插入算法的时间复杂度T(n) = O(n)，删除算法也是一样为O(n)。

总结

算法是程序员的内功心法，而时间复杂度又是算法学习的基石。时间复杂度的计算牵涉到的数学知识很多，准备最近赶紧复习一下数学了~

参考文章

1、《数据结构高分笔记》2016版，率辉主编。

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