递归式求时间复杂度的代入法与迭代法的举例讲解

在算法分析中，当一个算法中包含递归调用时，其时间复杂度的分析会转化为一个递归方程求解。实际上，这个问题是数学上求解渐近阶的问题，而递归方程的形式多种多样，其求解方法也是不一而足，比较常用的有以下四种方法：

(1)代入法(Substitution Method)

    代入法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法来验证该解是否合理。

    (2)迭代法(Iteration Method)

    迭代法的基本步骤是迭代地展开递归方程的右端，使之成为一个非递归的和式，然后通过对和式的估计来达到对方程左端即方程的解的估计。

    (3)套用公式法(Master Method)

    这个方法针对形如“T(n) = aT(n/b) + f(n)”的递归方程。这种递归方程是分治法的时间复杂性所满足的递归关系，即一个规模为n的问题被分成规模均为n/b的a个子问题，递归地求解这a个子问题，然后通过对这a个子间题的解的综合，得到原问题的解。

    (4)差分方程法(Difference Formula Method)

可以将某些递归方程看成差分方程，通过解差分方程的方法来解递归方程，然后对解作出渐近阶估计。

    下面就以上方法给出一些例子说明。

    一、代入法

    大整数乘法计算时间的递归方程为：T(n) = 4T(n/2) + O(n)，其中T(1) = O(1)，我们猜测一个解T(n) = O(n² )，根据符号O的定义，对n>n0，有T(n) < cn² - eO(2n)（注意，这里减去O(2n)，因其是低阶项，不会影响到n足够大时的渐近性），把这个解代入递归方程，得到：

    T(n) = 4T(n/2) + O(n)
           ≤ 4c(n/2)² - eO(2n/2)) + O(n)
           = cn²- eO(n) + O(n)
           ≤ cn²

    其中，c为正常数，e取1，上式符合 T(n)≤cn² 的定义，则可认为O(n² )是T(n)的一个解，再用数学归纳法加以证明。

    二、迭代法

某算法的计算时间为：T(n) = 3T(n/4) + O(n)，其中T(1) = O(1)，迭代两次可将右端展开为：

    T(n) = 3T(n/4) + O(n)
         = O(n) + 3( O(n/4) + 3T(n/4² ) )
         = O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/4² ) + 3T(n/4³ ) ) )

    从上式可以看出，这是一个递归方程，我们可以写出迭代i次后的方程：

    T(n) = O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/4² ) + ... + 3( n/4ⁱ + 3T(n/4ⁱ⁺¹ ) ) ) )

    当n/4ⁱ⁺¹ =1时，T(n/4ⁱ⁺¹ )=1，则

    T(n) = n + (3/4) + (3² /4² )n + ... + (3ⁱ /4ⁱ )n + (3ⁱ⁺¹ )T(1)
         < 4n + 3ⁱ⁺¹

    而由n/4ⁱ⁺¹ =1可知，i<log₄ n，从而

    3ⁱ⁺¹ ≤ 3^log₄ n+1 = 3^{log₃ n*log₄ 3} +1 = 3nlog₄ 3

    代入得：

    T(n) < 4n + 3nlog₄ 3，即T(n) = O(n)。

    三、套用公式法

    这个方法为估计形如：

　　T(n) = aT(n/b) + f(n)

　　其中，a≥1和b≥1，均为常数，f(n)是一个确定的正函数。在f(n)的三类情况下，我们有T(n)的渐近估计式：

1.若对于某常数ε>0，有f(n) = O(n^log_b a-ε )，则T(n) = O(n^log_b a )

    2.若f(n) = O(n^log_b a )，则T(n) = O(n^log_b a *logn)

    3.若f(n) = O(n^log_b a+ε )，且对于某常数c>1和所有充分大的正整数n，有af(n/b)≤cf(n)，则T(n)=O(f(n))。

    设T(n) = 4T(n/2) + n，则a = 4，b = 2，f(n) = n，计算得出n^log_b a = n^log₂ 4 = n² ，而f(n) = n = O(n^2-ε )，此时ε= 1，根据第1种情况，我们得到T(n) = O(n² )。

    这里涉及的三类情况，都是拿f(n)与n^log_b a 作比较，而递归方程解的渐近阶由这两个函数中的较大者决定。在第一类情况下，函数n^log_b a 较大，则T(n)=O(n^log_b a )；在第三类情况下，函数f(n)较大，则T(n)=O(f (n))；在第二类情况下，两个函数一样大，则T(n)=O(n^log_b a *logn)，即以n的对数作为因子乘上f(n)与T(n)的同阶。

    但上述三类情况并没有覆盖所有可能的f(n)。在第一类情况和第二类情况之间有一个间隙：f(n)小于但不是多项式地小于n^log_b a ，第二类与第三类之间也存在这种情况，此时公式法不适用。

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